C6 для развлечения

[VoloCh]

На мой взгляд задачи С6 егэ этого года были не очень равноценные. Вот одна показалась мне сложнее (ну, по-крайней мере, заняла у меня сильно больше времени, чем остальные).
Итак (экзамен прошел 7 июня, проверка завершена)
============
Каждый из группы учащихся сходил или в кино, или в театр, при этом возможно, что кто-то из учащихся мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более $\alpha$ от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более $\beta$ от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе $K$ мальчиков, если дополнительно известно, что в группе было $N$ учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что в группе было $N$ учащихся?
в) Какую наименьшую долю от общего числа учащихся в группе могли составлять девочки без дополнительного условия пунктов а) и б)?
============
Варианты были разные с конкретными значениями $\alpha$, $\beta$, $K$ и $N$. Например, можно считать что $\alpha=\frac{4}{13}$, $\beta=\frac{2}{5}$, $K=10$, $N=20$.

[DjD USB]

Сразу можно сказать что 20 уч-ся не могло пойти в кино или в театр,потому-что при этом доля мальчиков составила бы половину.По этому мальчиков и там и там было меньше 10.Тогда пусть $n_k$-кол-во мальчиков пошедших в кино,$n_t$-пошедших в театр.Тогда $n_t \le \frac{4}{13}p_t$,где $p_t$-общее кол-во пошедших в театр,и $p_t\le19$.Т.е. $n_t\le5$.
Аналогично для пошедших в кино.Т.е. $n_k\le7$.
Теперь по пункту а)Спрашивается Можно ли......Значить достаточно привести пример.Пусть $n_t=4$ и решим равнство $4=\frac{4}{13}p_t$. $p_t=13$.Пусть $n_k=6$ тогда $6=\frac{2}{5}p_k$. $p_k=15$.Т.е и в том и в том случае девочек пошло 9 человек.Т.к нам сказано что каждый должен сходить или в кино или в театр.То пусть 9 девочек сходили в кино и из них 8 в театр а одна просто в театр.Мальчики сходили по одному разу.Это как я думаю.Может и неправильно .

[VoloCh]

DjD USB в сообщении #584301 писал(а):

Значит достаточно привести пример... Пусть $n_t=4$ и ... $n_k=6$ ... и в том случае девочек пошло 9 человек.

Ну это верно... разве что девочки могут все 10 пойти и туда, и туда...
Таким образом, в пункте а) ответ получен... 1 балл из 4-х есть

[DjD USB]

VoloCh в сообщении #584344 писал(а):

DjD USB в сообщении #584301 писал(а):

Значит достаточно привести пример... Пусть $n_t=4$ и ... $n_k=6$ ... и в том случае девочек пошло 9 человек.

Ну это верно... разве что девочки могут все 10 пойти и туда, и туда...
Таким образом, в пункте а) ответ получен... 1 балл из 4-х есть

б)Больше 10 не может быть,тупо перебор $n_k=6 n_t=5;n_k=7 n_t=4$.Там кол-во девочек превышает Допустимое значение.Значит максимум 10.

[VoloCh]

DjD USB в сообщении #584349 писал(а):

б)Больше 10 не может быть, тупо перебор $n_k=6,\ n_t=5;\ n_k=7,\ n_t=4$. Там кол-во девочек превышает Допустимое значение. Значит максимум 10.

Ответ верный, но аккуратный перебор длинный. Такое решение может добавить 1 балл, а может, и нет.. От эксперта зависит. Если бы я встретил слова "переберем все пары... тогда девочек не менее чем..." и так далее... - то поставил бы еще 1 балл. На деле из 200 проверенных работ поставил 2 балла за С6 только 1 раз (но там боец сделал а) и в) наполовину, так как в) давало 2 балла).

[DjD USB]

В в) пока только догадки у меня : $n_t\le\frac{4}{13}p_t;p_t-d_t\le\frac{4}{13}p_t;d_t\ge\frac{9}{13}p_t$ Нужна наименьшая доля по-этому $d_t=\frac{9}{13}p_t$ Аналогично делал для кино $d_k=\frac{3}{5}p_k$ Дальше что-то пока не идет

-- Ср июн 13, 2012 13:27:13 --

VoloCh в сообщении #584352 писал(а):

DjD USB в сообщении #584349 писал(а):

б)Больше 10 не может быть, тупо перебор $n_k=6,\ n_t=5;\ n_k=7,\ n_t=4$. Там кол-во девочек превышает Допустимое значение. Значит максимум 10.

Ответ верный, но аккуратный перебор длинный. Такое решение может добавить 1 балл, а может, и нет.. От эксперта зависит. Если бы я встретил слова "переберем все пары... тогда девочек не менее чем..." и так далее... - то поставил бы еще 1 балл. На деле из 200 проверенных работ поставил 2 балла за С6 только 1 раз (но там боец сделал а) и в) наполовину, так как в) давало 2 балла).

Если он увидел что я(или кто-нибудь другой) красиво решил пункт а) и он видит что я понимаю суть задачи,то почемубы ему не поставить мне балл

[VoloCh]

(Оффтоп)

DjD USB в сообщении #584353 писал(а):

Если он увидел что я(или кто-нибудь другой) красиво решил пункт а)

Там просто критерии: а) приведен пример +1 балл; б) обосновано +1 балл: в) обоснована верная оценка +1 балл; найдена реализация оценки +1 балл. Итого 4.

[DjD USB]

VoloCh в сообщении #584358 писал(а):

(Оффтоп)

DjD USB в сообщении #584353 писал(а):

Если он увидел что я(или кто-нибудь другой) красиво решил пункт а)

Там просто критерии: а) приведен пример +1 балл; б) обосновано +1 балл: в) обоснована верная оценка +1 балл; найдена реализация оценки +1 балл. Итого 4.

Проверяющий без душен .
Давайте разберем 3-й пункт а то что-то не получается у меня.

[nnosipov]

Задача. Каждый из группы учащихся сходил или в кино, или в театр, при этом возможно, что кто-то из учащихся мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более $4/13$ от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более $2/5$ от общего числа учащихся группы, посетивших кино. а) Могло ли быть в группе $10$ мальчиков, если дополнительно известно, что в группе было $20$ учащихся? б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что в группе было $20$ учащихся? в) Какую наименьшую долю от общего числа учащихся в группе могли составлять девочки без дополнительного условия п. а) и б)?

Решение. Пусть $x_1$, $x_2$, $x_{12}$ --- число мальчиков, посетивших соответственно кино, театр, кино и театр; $y_1$, $y_2$, $y_{12}$ имеют аналогичный смысл применительно к девочкам. Тогда

$$ x=x_1+x_2-x_{12}, \quad y=y_1+y_2-y_{12} $$

есть общее число мальчиков и девочек соответственно. По условию

$$ x_1 \leqslant \frac{2(x_1+y_1)}{5}, \quad x_2 \leqslant \frac{4(x_2+y_2)}{13}, $$

откуда $y_1/x_1 \geqslant 3/2$ и $y_2/x_2 \geqslant 9/4$. Кроме того, $x \geqslant \max{\{x_1,x_2\}}$ и $y \geqslant \max{\{y_1,y_2\}}$.

а) Нужно выяснить, возможны ли равенства $x=10$ и $y=20-10=10$. Взяв

$$ x_1=6, \; x_2=4, \; x_{12}=0, \quad y_1=9, \; y_2=9, \; y_{12}=8, $$

видим, что все условия выполнены.

б) Пусть $x \geqslant 11$. Тогда $y \leqslant 9$ и, следовательно, $y_1 \leqslant 9$ и $y_2 \leqslant 9$, откуда $x_1 \leqslant 6$ и $x_2 \leqslant 4$. Но в таком случае $x \leqslant x_1+x_2 \leqslant 10$ --- противоречие.

в) Нужно найти

$$ \min{\frac{y}{x+y}}=\frac{m}{1+m}, \quad m=\min{\frac{y}{x}}. $$

Имеем

$$ \frac{y}{x}=\frac{y_1+y_2-y_{12}}{x_1+x_2-x_{12}} \geqslant \frac{\max{\{y_1,y_2\}}}{x_1+x_2} \geqslant \frac{\max{\{\frac{3}{2}x_1,\frac{9}{4}x_2\}}}{x_1+x_2}= \max{\{\tfrac{3}{2}t,\tfrac{9}{4}(1-t)\}}, $$

где $0 \leqslant t=x_1/(x_1+x_2) \leqslant 1$. Минимальное значение функции

$$ f(t)=\max{\{\tfrac{3}{2}t,\tfrac{9}{4}(1-t)\}} $$

равно $9/10$, поэтому справедливо неравенство $y/x \geqslant 9/10$. При этом равенство $y/x=9/10$ возможно и достигается, например, при

$$ x_1=6, \; x_2=4, \; x_{12}=0, \quad y_1=9, \; y_2=9, \; y_{12}=9. $$

Таким образом, $m=9/10$, а искомый минимум равен $9/19$.

Ответ. а) Да. б) $10$. в) $9/19$.

[Sefko]

nnosipov в сообщении #590979 писал(а):

По условию

$$ x_1 \leqslant \frac{2(x_1+y_1)}{5}, \quad x_2 \leqslant \frac{4(x_2+y_2)}{13}, $$

откуда $y_1/x_1 \geqslant 3/2$ и $y_2/x_2 \geqslant 9/4$.

Понятно, как получается "откуда", если и $x_1 \geqslant 0$, и $x_2 \geqslant 0$.
Очевидно так же, что случай, когда и $x_1 = 0$, и $x_2 = 0$, хотя и допускается условием задачи, не интересен с точки зрения поиска максимально возможного числа мальчиков. Но что делать, когда либо $x_1 = 0$, либо $x_2 = 0$? Откуда следует, что при таком раскладе не может получиться максимальное число мальчиков (минимальное число девочек)?

Без рассмотрения этого случая, например, на предмет того, что его можно игнорировать, мы имеем доказательство, содержащее деление на ноль. Стало быть, максимальный бал за такое решение - 1 (один) из четырех возможных (представлен конкретный расклад в обоснование пункта а).

Я неправ?

[nnosipov]

Sefko в сообщении #590995 писал(а):

Я неправ?

Будем считать, что я при переписывании ошибся: нужно написать $y_1 \geqslant 3/2x_1$ и $y_2 \geqslant 9/4x_2$, что собственно и вытекает из тех неравенств. Ловля блох, конечно, нужна, но особо усердствовать в этом не стоит, когда это не принципиально.

Кстати, вспоминая, почему было написано $y/x_1 \geqslant 3/2$. Запись типа $y_1 \geqslant 3/2x_1$ лично меня раздражает некоторой двусмысленностью, нужно ставить скобки: $y_1 \geqslant (3/2)x_1$. Отсюда рефлекторное желание поделить. Ну и, поскольку я не на экзамене, поделил

[Sefko]

nnosipov в сообщении #590999 писал(а):

Будем считать, что я при переписывании ошибся: нужно написать $y_1 \geqslant 3/2x_1$ и $y_2 \geqslant 9/4x_2$, что собственно и вытекает из тех неравенств.

Посмотрел. Вы правы - такое переписывание устраняет все проблемы. Нигде более в доказательстве деления на ноль нет.

Резюме.
Представленное Вами доказательство радикально проще того, которое нашел я. Следовательно, мой вопрос относительно задачи С6 я считаю закрытым.

Еще раз спасибо за внимание.

[nnosipov]

Sefko в сообщении #591003 писал(а):

Еще раз спасибо за внимание.

Рад был помочь.

[nnosipov]

Вот ещё один сюжет, мне он показался симпатичным.

Задача. Число $S$ таково, что для любого представления $S$ в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит $1$, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадёт только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превзойдёт $20$. Найдите максимально возможное значение $S$.

PS. Я убрал первые два пункта и оставил только последний, самый сложный. Интересно, в таком виде эта задача на какой этап Всероссийской олимпиады тянет? И для каких классов?