треугольник

[gefest_md]

Найти $\angle NMC$. Задача сложная. Кажется нужно сделать дополнительное построение. Подскажите пожалуйста какое.

[Shadow]

Обозначьте точку пересечения $CM$ и $BN$ т.$O$. Будут 4 прямоугольных треугольников ($BOC,MON, BOM,CON$). Можно принять $BC=1$ Сразу находятся $BO$ и $CO$. Потом от тр-ков $CON$ и $BOM$ найдете $NO$ и $MO$. И... все

[мат-ламер]

gefest_md в сообщении #590374 писал(а):

Кажется нужно сделать дополнительное построение.

По-моему, чисто алгебраическая задача на систему линейных уравнений.

(Оффтоп)

Но я не специалист по таким задачам, и с ручкой в руке до конца задачу не довёл. Так что всякое может быть.

[Shadow]

Грубой силой получается (все в градусах) $\tg x=\dfrac{\tg{50}\cdot \tg{10}}{\tg{20}}$ Оказывается, $x=30$ градусов. Что наводит на мысль, что можно и похитрее, о чем писал мат-ламер. Но в общем случае $\tg x=\dfrac{\tg(40+\alpha)\cdot \tg{\alpha}}{\tg(30-\alpha)}$ дает в градусах целое число только при $\alpha=10, 15, 25$ градусов (соответно 30, 55, 85 град.) В остальных случаях получаются иррациональные числа.

[neo66]

Заметим, что $BN=NC$ и $BC=CM$. Пусть точка D такова, что треугольник $\triangle DBN$ - равносторонний. Тогда $\triangle DBC = \triangle NCM$.
Треугольник $\triangle DNC$ - равнобедренный. Значит $\angle NCD = 80^0 $. И $\angle CMN=\angle BCD = 80^0 - 50^0=30^0$.

[BVR]

neo66
Красиво!