Примарное разложение

[Spandei]

Примарное разложение - представление идеала нетерова кольца в виде пересечения примарных идеалов.
В книжке встретил такое утверждение: примарное разложение не меняется, если к пересечению добавить идеал, радикал которого совпадает с радикалом одного из присутсвующих в пересечении.
Почему это так?
Вижу только, что $rad(A_1)=rad(A_2)$ - наименьший простой идеал, содержащий $A_1$ и $A_2$. Из этого же не следует, что пересечение $A_1$ с остальными примарными иделами разложения совпадает с пересечением $A_2$ с ними...