односторонняя производная

[gefest_md]

Как правильно находить одностороннюю производную? Вот, к примеру, функция $f(x)=\frac{1}{x}$. Можно находить, скажем её левостороннюю производную в точке $x_0=0$, используя определение:

$$f^\prime(x_0-0)=\lim_{x\to x_0-0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0};$$

или же надо так:

$$f^\prime(x_0-0)=\lim_{x\to x_0-0}f^\prime(x)\ ?$$

[bot]

Во втором случае это не односторонняя производная, а её предел. Совпадение бывает не всегда.

[gefest_md]

По первой формуле находить левостороннюю производную не получается потому что функция $\frac{1}{x}$ не определена в точке $x_0=0.$ Пытался дополнить определение функции, $f(0)=0,$ но результат получается неверным. Вторую формулу взял из школьного учебника, где авторы вводят её "без предупреждения" при решении одной задачи, для которой кстати подошла бы и первая формула потому, что функция из той задачи самая обыкновенная, определенная на $\mathbb{R}.$ Вот в таком контексте думаю как грамотно найти односторонние производные, в частности когда $f(x_0)$ не определено.

[Munin]

Рассмотрите лучше функцию $\operatorname{sgn}x.$

[GAA]

gefest_md, по определению односторонней производной в точке $x_0$ функция должна быть определена в точке $x_0$. (Более того, если существует конечная правая производная в точке $x_0$, то функция непрерывна справа в точке $x_0$).

Если функция $f(x)$ непрерывна справа в точке $x_0$ и имеет конечную производную при $x > x_0$, то (конечный или нет) предел $\lim\limits_{x \to x_0+0} f’(x)$ равен правой производной функции в точке $x_0$.
Аналогично для левой производной.
(См. любой учебник по анализу, например, Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т1.)

Функция $1/x$ в нуле не имеет ни правую производную, ни левую производную.

-- Thu 28.06.2012 15:50:46 --

Определение (левой производной). Если существует предел

$$f’_-(x_0)=\lim_{x\to x_0-0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$$

то он называется левой производной.

Первоначально пропустил "конечная", исправил.

[Munin]

Интересно, а может существовать левая производная, а $\lim\limits_{x\to\,\,x_0-0}\,\,f'(x)$ не существовать? Пока придумал только функцию Дирихле на $x^2$ умножить, но это не очень красиво: там и самой $f'(x)\bigr|_{x\ne 0}$ не существует.

[GAA]

Munin в сообщении #590060 писал(а):

Интересно, а может существовать левая производная, а $\lim\limits_{x\to\,\,x_0-0}\,\,f'(x)$ не существовать?

$f(x)= \left\{\begin{array}{l} x^2\sin(1/x), \quad x \ne 0, \\ 0, \quad x = 0. \end{array} \right$ в нуле. (См. в том же Фихтенгольце)

Отредактировал. Сначала не набрал систему. Набрал аккуратно.

[Munin]

А, ну да, конечно :-) Спасибо.