площадь боковой поверхности конуса

[sadomovalex]

добрый день
необходимо найти площадь боковой поверхности следующего конуса: основание - окружность радиуса $r$, вершина конуса удалена на расстояние $x$ от основания и на высоте $h$ над плоскостью основания:

Т.е. образующая не является константой. Если разрезать этот конус по наименьшей образующей $l_{min}=\sqrt{x^2+h^2}$, развернуть и затем "положить" его одной из сторон разреза на ось $x$, то получим приблизительно следующую картину:

красной линией показан разрез прямого кругового конуса с радиусом основания $x$. Площадь боковой поверхности будет площадь фигуры, ограниченной зеленой линией и осью координат. Возникает вопрос, как посчитать эту площадь, т.к. интегрировать напрямую нельзя, т.к. функция неоднозначна.
У меня были следующие мысли по поводу зависимости длины образующей $l$ от угла развертки $\varphi$: т.к. при $\varphi=0$ и при $\varphi=\alpha$ образующая минимальна и равна $l_{min}$, а при $\varphi=\frac{\alpha}{2}$ - максимальна $l_{max}$, то ее вид $l(\varphi)=l_{min}+(l_{max}-l_{min})\sin\frac{\pi}{\alpha}\varphi$. Если это правильно, то можно попробовать повернуть развертку на угол $\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}$ (т.е. чтобы наибольшая образующая совпала с осью $y$) и разбить полученную фигуру на несколько частей, каждая из которых будет либо ограничена однозначной функцией, либо какими либо прямыми. Что скажете?

[Dan_Te]

sadomovalex писал(а):

Площадь боковой поверхности будет площадь фигуры, ограниченной зеленой линией и осью координат.

Нет, зеленой линией и углом развертки.

sadomovalex писал(а):

можно попробовать повернуть развертку... и разбить полученную фигуру на несколько частей

Мне кажется, именно так и надо делать. Разбиваем развертку на две половины, поворачиваем как надо и интегрируем.

Вот только мне ваша формула для $l(\varphi)$ не очень нравится.

[sadomovalex]

Dan_Te писал(а):

sadomovalex писал(а):

Площадь боковой поверхности будет площадь фигуры, ограниченной зеленой линией и осью координат.

Нет, зеленой линией и углом развертки.

я неточно выразился - конечно

Dan_Te писал(а):

Мне кажется, именно так и надо делать. Разбиваем развертку на две половины, поворачиваем как надо и интегрируем.
Вот только мне ваша формула для $l(\varphi)$ не очень нравится.

у меня тоже сомнения на ее счет, т.к. ее вид был получен скорее эмпирическим путем. Как бы доказать (или опровергнуть), что при склеивании по $l_{min}$ конец образующей $l(\varphi)$ будет описывать окружность..

[ИСН]

Опровергнуть? Предельные случаи Вам в помощь! Я взял конус с углом при вершине 1°, рассёк его плоскостью под углом в 3° к оси (получился длииииинный такой эллипс), развернул - это что, тоже окружность?

[sadomovalex]

ИСН писал(а):

Опровергнуть? Предельные случаи Вам в помощь! Я взял конус с углом при вершине 1°, рассёк его плоскостью под углом в 3° к оси (получился длииииинный такой эллипс), развернул - это что, тоже окружность?

по условию интересует случай, когда в основании окружность радиуса $r$ - с ней бы сначала разобраться

[ИСН]

Тогда такое соображение: вот мы разрезали по минимальной образующей (ну, и развернули потом) - при разрезе возникло два уголка. Какие? А ведь прямые. Что-то это не очень шоколадно ложится на Ваш рисунок с зелёной кривой.

[sadomovalex]

ИСН писал(а):

Тогда такое соображение: вот мы разрезали по минимальной образующей (ну, и развернули потом) - при разрезе возникло два уголка. Какие? А ведь прямые. Что-то это не очень шоколадно ложится на Ваш рисунок с зелёной кривой.

не очень понял, про какие два прямых угола Вы говорите.. для прямого кругового конуса угол развертки, очевидно, зависит от длины образующей: www.cn.ru/edu/math/math/data/ch40.html. В исходном посте я, вероятно, ошибочно написал, что красная линия - это развертка прямого кругового конуса с радиусом основания $x$ (другими словами он не равен $\frac{2\pi x}{l_{min}}$ - см. ссылку). На самом деле - это просто сектор окружности с центральным углом, равным углу развертки нашего "неправильного" цилиндра. И угол этот еще надо как-то определить

[ИСН]

Я говорю про два прямых угла в точках A и A' на рисунке по ссылке.

[sadomovalex]

ИСН писал(а):

Я говорю про два прямых угла в точках A и A' на рисунке по ссылке.

а Вы правы - образующая должна составлять прямой угол с касательной к основанию в точке их пересечения.. хм, так можно ли вообще сделать такой разрез этого конуса, чтобы он оказался плоским?

[Someone]

sadomovalex писал(а):

можно ли вообще сделать такой разрез этого конуса, чтобы он оказался плоским?

Коническая поверхность - развёртывающаяся на плоскость. Поэтому никакой проблемы быть не должно. Просто уравнение граничной линии нужно аккуратно получить. А площадь потом вычислять в полярных координатах.

[xolms]

А разве простым интегралом не найдется площадь?(так же когда и образующие равны) Ведь в сечении параллельном основанию получится окружность вроде.(из соображений гомотетии)

[RIP]

xolms писал(а):

Ведь в сечении параллельном основанию получится окружность вроде

Ну и что?

[Someone]

Someone писал(а):

Просто уравнение граничной линии нужно аккуратно получить.

Нда... Ничего хорошего не видно.

[neo66]

Проще всего, по-моему, приблизив нашу поверхность поверхностью призмы, написать для площади интегральную сумму. Получается нечто вроде:

$S=\int\limits^{\pi/2}_{-\pi/2}R{\sqrt{{h^2+{((R+x)\sin(\phi) + R)^2}}}d\phi$

[Dan_Te]

Someone писал(а):

А площадь потом вычислять в полярных координатах.

Хорошая идея.

Someone писал(а):

Нда... Ничего хорошего не видно

Ага. Мне как-то сильно не понравилось.

xolms писал(а):

Ведь в сечении параллельном основанию получится окружность вроде.

Какому основанию? Может быть, в сечении, перпендикулярном оси конуса?

neo66: это хорошо. Но все-таки хотелось бы как-нибудь через развертку посчитать =))