Вывод формул для d между 2 прямыми, между прямой и точкой.

[mr.tumkan]

Вот такие 2 любопытных вопроса. Если пойму ответ на них, то думаю, что вывести формулу для расстояния от точки до плоскости - не составит труда)
Кстати, промахнулся с разделом, этот вопрос лучше было в раздел "общие вопросы"=)

1)Откуда выводится формула для расстояния между двумя прямыми $l_1:\;\;\;\vec l_1=(a_1,b_1,c_1),\;\;\;M_1(x_1,y_1,z_1)\in l_1$ и прямой $l_2:\;\;\;\vec l_2=(a_2,b_2,c_2),\;\;\;M_2(x_2,y_2,z_2)\in l_2$

$d=\dfrac{\operatorname{mod}\left| \begin{matrix}x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\ \end{matrix}\right|}{\sqrt{{\left| \begin{matrix}a_1&b_1\\a_2 &b_2 \end{matrix}\right|}^2+{\left| \begin{matrix}a_1&c_1\\a_2 &c_2 \end{matrix}\right|}^2+{\left| \begin{matrix}c_1&b_1\\c_2 &b_2 \end{matrix}\right|}^2}}$

Числитель напоминает уравнение плоскости, проходящей через три точки.

2) Откуда выводится формула для расстояния между точкой $M_0(x_0,y_0,z_0)$ и прямой $l_1$ с направляющим вектором $(m,n,k)$, при $M_1(x_1,y_1,z_1)\in l_1$

$d=\dfrac{\sqrt{{\left| \begin{matrix}x_1-x_0&y_1-y_0\\m&n\end{matrix}\right|}^2+{\left| \begin{matrix}x_1-x_0&z_1-z_0\\m&k\end{matrix}\right|}^2+{\left| \begin{matrix}z_1-y_0&z_1-y_0\\n&k\end{matrix}\right|}^2}}{\sqrt{m^2+n^2+k^2}}$

Знаменатель напоминает длину направляющего вектора

[Shtorm]

Однозначно можно сказать, что всё это выводится через векторы

[mr.tumkan]

Shtorm в сообщении #589758 писал(а):

Однозначно можно сказать, что всё это выводится через векторы

Но как?)

[Shtorm]

mr.tumkan в сообщении #589765 писал(а):

Shtorm в сообщении #589758 писал(а):

Однозначно можно сказать, что всё это выводится через векторы

Но как?)

Ну Вы хотя бы попробовали бы как-нибудь, исходя из правил данного форума. Соедините вектором эти две точки, которые фигурируют в формулах, потом нарисуйте направляющий вектор на прямой, потом дорисуйте к полученным двум веторам третью сторону, чтобы вышел прямоугольный треугольник...Этот перпендикуляр и будет расстоянием.. Попробуйте модуль проекции вектора на этот перепендикуляр и т.д. и т.п.

[ewert]

mr.tumkan в сообщении #589755 писал(а):

$d=\dfrac{\operatorname{mod}\left| \begin{matrix}x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\ \end{matrix}\right|}{\sqrt{{\left| \begin{matrix}a_1&b_1\\a_2 &b_2 \end{matrix}\right|}^2+{\left| \begin{matrix}a_1&c_1\\a_2 &c_2 \end{matrix}\right|}^2+{\left| \begin{matrix}c_1&b_1\\c_2 &b_2 \end{matrix}\right|}^2}}$

Во-первых, не $\mod$, а $\mathrm{abs}$. Во-вторых, вверху действительно можно углядеть уравнение плоскости. Но гораздо лучше обнаружить там проекцию вектора, соединяющего те две точки, на вектор общей нормали к прямым, т.е. на векторное произведение направляющих векторов этих прямых.

-- Ср июн 27, 2012 19:07:04 --

Shtorm в сообщении #589788 писал(а):

Соедините вектором эти две точки, которые фигурируют в формулах, потом нарисуйте направляющий вектор на прямой, потом дорисуйте к полученным двум веторам третью сторону, чтобы вышел прямоугольный треугольник...Этот перпендикуляр и будет расстоянием..

Ну только не этот перпендикуляр.

[mr.tumkan]

Не очень понял - как соединить.
Вот что имелось ввиду?



-- 28.06.2012, 02:28 --

ewert в сообщении #589808 писал(а):

Но гораздо лучше обнаружить там проекцию вектора, соединяющего те две точки, на вектор общей нормали к прямым, т.е. на векторное произведение направляющих векторов этих прямых.

А что - эта проекция и будет искомым расстоянием. Походу длина общего вектора нормали является искомым расстоянием?

Рисунок немного кривой) Я так понял, что если мы рассматриваем скрещивающиеся прямые, то всегда можно нарисовать рисунок в такой проекции, что будет виден отрезок, соединяющий две прямые, который перпендикулярен им обоим? Верно ли утверждение?

[Nacuott]

mr.tumkan, Вы сначала почитайте и разберитесь - что такое векторное произведение двух векторов и смешанное произведение
трех векторов.Без этого, ну никак...

[mr.tumkan]

Nacuott в сообщении #589989 писал(а):

mr.tumkan, Вы сначала почитайте и разберитесь - что такое векторное произведение двух векторов и смешанное произведение
трех векторов.Без этого, ну никак...

Да, в числителе стоит смешанное произведение векторов. Но как это поможет?

[Shtorm]

mr.tumkan в сообщении #589755 писал(а):

2) Откуда выводится формула для расстояния между точкой $M_0(x_0,y_0,z_0)$ и прямой $l_1$ с направляющим вектором $(m,n,k)$, при $M_1(x_1,y_1,z_1)\in l_1$

$d=\dfrac{\sqrt{{\left| \begin{matrix}x_1-x_0&y_1-y_0\\m&n\end{matrix}\right|}^2+{\left| \begin{matrix}x_1-x_0&z_1-z_0\\m&k\end{matrix}\right|}^2+{\left| \begin{matrix}z_1-y_0&z_1-y_0\\n&k\end{matrix}\right|}^2}}{\sqrt{m^2+n^2+k^2}}$

Знаменатель напоминает длину направляющего вектора

Прежде всего в числителе под корнем в третьем слагаемом - ошибки.

Выводим так: Найдите координаты вектора $M_{0}M_{1}$, затем векторно перемножте его на вектор $(m,n,k)$ - то есть на направляющий вектор прямой. В результе векторного произведения получился вектор. Найдите его модуль - это и будет числитель формулы. По свойству векторного произведения - этот модуль является площадью параллелограмма, образованного направляющим вектором прямой и вектором $M_{0}M_{1}$. Перпендикуляр, опущенный из точки $M_{0}$ на эту прямую - будет искомым расстоянием. Этот же перпендикуляр является высотой параллелограмма, площадь кооторого мы нашли. Применяем формулу площади параллелограмма - где произведение основания на высоту - и вуаля

[Munin]

mr.tumkan в сообщении #590097 писал(а):

Да, в числителе стоит смешанное произведение векторов. Но как это поможет?

Вспомните геометрический смысл смешанного произведения векторов. И со знаменателем разберитесь так же.

[mr.tumkan]

Shtorm в сообщении #590154 писал(а):

Выводим так: Найдите координаты вектора $M_{0}M_{1}$, затем векторно перемножте его на вектор $(m,n,k)$ - то есть на направляющий вектор прямой. В результе векторного произведения получился вектор. Найдите его модуль - это и будет числитель формулы. По свойству векторного произведения - этот модуль является площадью параллелограмма, образованного направляющим вектором прямой и вектором $M_{0}M_{1}$. Перпендикуляр, опущенный из точки $M_{0}$ на эту прямую - будет искомым расстоянием. Этот же перпендикуляр является высотой параллелограмма, площадь кооторого мы нашли. Применяем формулу площади параллелограмма - где произведение основания на высоту - и вуаля

Спасибо, понятно

-- 29.06.2012, 01:44 --

Munin в сообщении #590171 писал(а):

Вспомните геометрический смысл смешанного произведения векторов. И со знаменателем разберитесь так же.

Модуль смешанного произведения - объем параллелепипеда. Площадь основания - модуль векторного произведения. Делим одно на другое и получаем ответ. Понятно, спасибо, понятно.

А расстояние от точки до плоскости почему равно этому?

$d=\dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{n^2+k^2+l^2}}$

Да, в знаменателе стоит длина вектора нормали.

В числителе стоит нечто похожее на уравнение плоскости лишь, ну или скалярное произведение $(x_0,y_0,z_0,1)$ и вектора $(A,B,C,D)$

Пока не понятно - какой из этого можно сделать вывод...

[Munin]

Надо просто знать, что уравнение плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ - это, по сути, $\mathbf{Nr}=-D,$ где $\mathbf{N}$ - заданный вектор, нормальный плоскости, а $-D$ - константа, указывающая, какое расстояние плоскость отсекает на прямой, нормальной плоскости, и проходящей через начало координат. Нормировав нормальный вектор, получаем $\mathbf{nr}=d$ для любой точки, лежащей на плоскости, а если точка отстоит от плоскости на некоторое расстояние $|h|,$ то получается, соответственно, $\mathbf{nr}=d+h$ (где $h$ может быть как с плюсом, так и с минусом).

[mr.tumkan]

Спасибо А зачем нужно было нормировать - пока вот это не понятно. А почему знак плюс стал у $d$ (или это ввиду непринцпиальности, так константа - любая?)

[Munin]

Нормировать - чтобы константа стала реальным расстоянием. До нормировки скалярное произведение было равно $|\mathbf{N}|\cdot|\mathbf{r}|\cos\varphi,$ а после стало $|\mathbf{r}|\cos\varphi$ - ровно столько, составляет проекция вектора на прямую. И эту проекцию просто удобно обозначать буквой $d,$ а не $-d,$ при том, что константа, действительно, любая, и это не принципиально.