2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ровно три ближайших точки (из красивейших задач "Кванта")
Сообщение27.06.2012, 21:33 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Одна из красивейших задач "Кванта" (особенно пункт б)):

а) На плоскости отмечено конечное число точек. Доказать, что среди них найдётся точка, у которой не более трёх ближайших (то есть находящихся на наименьшем от неё расстоянии; таких точек, вообще говоря, может быть несколько).

б) Существует ли на плоскости конечное множество точек, у каждой из которых в этом множестве ровно три ближайших?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ровно три ближайших точки (из красивейших задач "Кванта")
Сообщение27.06.2012, 22:29 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
б) Как-то так...
Изображение
Все отрезки на рисунке следует считать одинаковыми, а точки $\text{---}$ искать в местах сопряжения отрезков. Закрашены правильные треугольники, объединенные в ромбы.
Кстати говоря, подходят все такие ожерелья с числом бусинок $n\ge 4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ровно три ближайших точки (из красивейших задач "Кванта")
Сообщение28.06.2012, 00:57 
Заслуженный участник


18/01/12
933
а)

Обозначим $m$ наименьшее из расстояний между парами точек данного множества.
Выберем подмножество, состоящее только из тех точек, для которых в данном множестве найдётся точка, расстояние до которой равно $m.$
Выпуклая оболочка этого подмножества — многоугольник (возможно, вырожденный в отрезок).
Для любой точки, лежащей в вершине этого многоугольника, найдётся от одной до трёх точек, лежащих на расстоянии $m$ от неё.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group