trigonometric equation(easy?)

[Keter]

$$3 (\sin x + \cos x) = 2 \sin 2x$$

Попытка решения: пусть $y=\dfrac{x}{2}$

$$3 (2 \sin y \cos y + 2 \cos^2 y - 1) = 4 \sin x \cos x$$

$$3 \cos^2 y \Big( 2 \dfrac{\sin y}{\cos y} + 2 - \dfrac{1}{\cos^2 y} \Big)= 8 \sin y \cos y (2 \cos^2 y -1)$$

$$3 \cos^2 y (2 \tg y +2 -1 - \tg^2 y) = 8 \cos^2 y \sin y \Big( 2 \cos y - \dfrac{1}{\cos y} \Big)$$

$$-3(\tg^2 y - 2\tg y -1) = 16 \sin y \cos y - 8 \dfrac{\sin y}{\cos y}$$

$$-3 \tg^2 y + 6 \tg y +3 + 8 \tg y = 16 \sin y \cos y$$

$$-3 \tg^2 y + 14 \tg y = -3 \sin^2 y + 16 \sin y \cos y - 3 \cos^2 y$$

$$-3 \tg^2 y \dfrac{1}{\cos^2 y} + 14 \tg y \dfrac{1}{\cos^2 y} = -3 \tg^2 y + 16 \tg y -3$$

$$3 \tg^2 y \Big( 1 - \dfrac{1}{\cos^2 y} \Big) +2 \tg y \Big( \dfrac{7}{\cos^2 y} - 8 \Big) + 3 = 0$$

Это максимальное, к чему я смог прийти. Но интуиция мне подсказывает, что здесь простое решение без перехода к тангенсу

[Shadow]

Можно возвести обе части в квадрат, (рискуя получить лишние корни) и получить квадратное уравнение относительно $\sin{2x}$ ..и потом разбиратся

[Keter]

$x=\dfrac{1}{2} (-1)^{k+1} \arcsin \dfrac{3}{4} + \dfrac{\pi k}{2}$

[Алексей К.]

Keter, у Вас

$$\begin{cases} 3(s+c)=4sc,\\ s^2+c^2=1\end{cases}\quad\left\{\begin{array}{rcl} 3(s+c)&=&4sc,\\ 2&=&2s^2+2c^2\end{array}\right.$$

Сложите лево и право в последней паре уравнений. Может, так попроще будет?

[Shadow]

Keter в сообщении #589107 писал(а):

$x=\dfrac{1}{2} (-1)^{k+1} \arcsin \dfrac{3}{4} + \dfrac{\pi k}{2}$

У Вас лишние корни

[Keter]

Алексей К., действительно проще, и, на сколько я помню, Вы уже не раз применяли такой способ решения на форуме. Спасибо, что еще раз показали, теперь то я его запомню.

Из системы получаем два уравнения:

$$\sin x + \cos x = 2$$

$$\sin x + \cos x = -0,5$$

Очевидно первое решений не имеет, а вот второе $x = (-1)^{k+1} \arcsin \dfrac{\sqrt2}{4} - \dfrac{\pi}{4} + \pi k$

Ответ немного смущает...

-- 26.06.2012, 14:37 --

Shadow, а как же понять какие корни посторонние?

[Алексей К.]

Keter в сообщении #589265 писал(а):

а как же понять какие корни посторонние?

Тупой подстановкой. Но надо стараться их не заводить. Если Вы применяли возведение в квадрат --- они могли завестись. Здесь посмотрите.

[Keter]

Алексей К., ясно, поэтому лучше избегать их

[bot]

Здесь удобнее было воспользоваться тождеством $(\sin x+\cos x)^2=1+\sin 2x$. После замены $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos(x-\frac{\pi}{4})$ получаем квадратное уравнение $3t=2(t^2-1)$.

[ewert]

bot в сообщении #589392 писал(а):

Здесь удобнее было воспользоваться тождеством $(\sin x+\cos x)^2=1+\sin 2x$.

Это одно и то же. Просто полезно помнить, что прибавка/выделение основного тригонометрического тождества способно изменить уравнение до неузнаваемости, не меняя его фактически.