Детский вопрос о комплексных числах

[ewert]

мат-ламер в сообщении #588609 писал(а):

Тем не менее, он сумел рассмотреть в комплексных числах нечто перспективное. Интересно что?

То, что без них в кубических уравнениях было явно совсем как-то никак. Вот он их и ввёл, поначалу лишь как нечто сугубо формальное.

Кстати, ровно по тому же принципу много позже вводил свою дельта-функциию и Дирак (а до него вроде как Хевисайд). Ясно же было, что такой функции (в строгом математическом смысле) нет и быть не может. Но -- нужна! Вот и ввели.

Именно по такой схеме содержательная математика и развивается: предугадывание полезности, а уж потом (иногда даже несколькими столетиями позже, как с комплексными числами) формальное обоснование. Примеров вообще-то много.

[_hum_]

Вся глубина и красота введения комплексных чисел, на мой взгляд, заключена в идее алгебраического расширения. Только вот школьнику ее объяснить проблематично... В первую очередь, требуется осознание того факта, что число не определяется само по себе, а выступает как некий объект, состоящий в особых отношениях с другими объектами. Иными словами, числа делают числами именно операции, которые над ними можно выполнять. Ну а значит, можно брать любые другие (нечисловые в обыденном понимании) объекты с подобными операциями (например, многочлены или матрицы с соответствующими операциями), и отождествлять с ними числа. Ну а дальше, поскольку пропадает привязка к конкретным числам, а остаются только операции над абстрактными объектами-представителями чисел, никто теперь не мешает попытаться подобрать абстрактый объект $O$ такой, что $O\times O = O_{-1}$, где $O_{-1}$ - абстрактный объект, отождествляющийся с числом $-1$. Тем самым получаем расширение того, что называем числами. Чем это выгодно - например тем, что обратная к алгебраической операции возведения в степень операция взятия корня становится всюду определенной, а значит, в алгоритмах решения алгебраических задач теперь не нужно отдельно предусматривать случаи, когда корень существует и нет.

[Asker Tasker]

(Оффтоп)

А зачем в школе вообще давать комплексные числа? У нас в школе в матклассе комплексные числа в курс вообще не входили, а когда в универе их ввели на линейной алгебре как расширение поля $\mathbb{R}$, было всё просто и понятно. И очень плавно потом перекочевало в ТФКП.

[ewert]

(Оффтоп)

Asker Tasker в сообщении #589372 писал(а):

У нас в школе в матклассе комплексные числа в курс вообще не входили,

В школе для математики комплексные числа, в общем, и не нужны. Они могут понадобиться лишь для физики -- если, конечно, в данной школе физика тоже продвинута. Но это уже вопрос межпредметного согласования.