Уравнение Шредингера

[Bulinator]

Есть уравнение:

$$4x(1-x^2)^2f''+4m(1-x^2)^2f'+(ax^2+bx+c)f=0,\quad f(0)=f(1)=0$$

Может кому-нибудь какая-нибудь подстановка известна.
Заранее спасибо.

[ewert]

Подстановки не знаю, но оно явно не Шрёдингера: один квадрат лишний, эм то ли тоже лишнее, то ли одного не хватает, как не хватает и одного минуса.

[Bulinator]

ewert в сообщении #589277 писал(а):

но оно явно не Шрёдингера

Я его писал как ур-е. Шредингера на кривом пространстве.

ewert в сообщении #589277 писал(а):

один квадрат лишний,

Можете все разделить на $1-x^2$. Тогда не будет лишнего квадрата.

ewert в сообщении #589277 писал(а):

эм то ли тоже лишнее, то ли одного не хватает

Можете обозвать $m=m'+1$. Или я не так понял?

ewert в сообщении #589277 писал(а):

как не хватает и одного минуса

Где? Параметры для удобства можно считать какими угодно. Только бы решить, а я потом подгоню.

[Munin]

Bulinator в сообщении #589278 писал(а):

Я его писал как ур-е. Шредингера на кривом пространстве.

Всё равно в нём ничего уже от Шрёдингера не осталось, обыкновенное ДУ, краевая задача. В справочниках Полянина-Зайцева смотрели?

[Bulinator]

Munin в сообщении #589282 писал(а):

В справочниках Полянина-Зайцева смотрели?

Скачал Полянин, Зайцев,"Справочник по нелинейным уравнениям математической физики". Вроде даже близко не стоит. Может, не то скачал?

Если разделить все на $(1-x)(1+x)^2$ И искать решение в виде $f=(1-x)^{a}h$, то, соответствующим выбором $a$ можно получить либо

$$ x(1-x)h''+(\alpha-\beta x)h'+\left(A+\frac{B}{(1+x)^2}+\frac{C}{1+x}\right)h=0 $$

либо

$$ x(1-x)h''+(\alpha-\beta x)h'+\left(\frac{A}{1-x}+\frac{B}{(1+x)^2}+\frac{C}{1+x}\right)h=0 $$

Интересно, или уже начинаю надоедать?

[Munin]

Bulinator в сообщении #589303 писал(а):

Скачал Полянин, Зайцев,"Справочник по нелинейным уравнениям математической физики". Вроде даже близко не стоит. Может, не то скачал?

У них большой комплект справочников, кажется, были и по обыкновенным дифференциальным уравнениям. У вас, очевидно, линейное ОДУ.

[Vince Diesel]

Ненулевые решения у таких задач не всегда существуют. К тому же для решения из класса $C^2([0,1])$ условие $f(1)=0$ выполнено автоматически (из уравнения), если $a+b+c\ne0$.

[Bulinator]

Munin в сообщении #589312 писал(а):

У них большой комплект справочников, кажется, были и по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Спасибо, Munin. Скачал. Утром посмотрю. Я сейчас смотрю на стакан и думаю: "Как бы тут $1-x^2$ из знаменателя убрать?"

[Bulinator]

А такое уравнение решается?

$$ \sinh{\xi} f''+\left(m+\cosh{\xi}+b \sinh{\xi}\right) f'+\left(\mu+\nu \cosh{\xi})\right) f=0 $$

[Munin]

А $\xi$ что такое? Аргумент $f$?

[Bulinator]

Munin в сообщении #592687 писал(а):

А $\xi$ что такое? Аргумент $f$?

Ага.

[Munin]

Разве в справочнике не было общего метода для всех уравнений вида $a(x)\,f''+b(x)\,f'+c(x)\,f=0$? Они же должны переводиться друг в друга каким-то преобразованием.

[ewert]

Даже для уравнения $f''+p(x)f=0$ нет и не может быть какого-то универсального метода решения. Кроме численных, конечно.

[Munin]

Понял.

[Bulinator]

Еще один надоедливый вопрос и ФсЁ!

Пусть есть уравнение Риккати:

$$ \beta'+\beta^2=V(x)+\epsilon, $$

где

$$ V(x)=\frac{1-m^2}{4 x^2}+\frac{2 E+\lambda +2 \gamma }{8 (1-x)}+\frac{2 E-\lambda -2 \gamma }{8 (1+x)}+\frac{E-\gamma }{4 (1+x)^2}+\frac{E+\gamma }{4 (1-x)^2}+\frac{\lambda +2 \gamma }{4 x} $$

Тут кроме $x$ все константы.
Какое-нибудь частное решение найти реально?