Функциональный анализ/Некорректные задачи

[Respan]

Здравствуйте, преподаватель дал посчитать:
$u(x)=\sin x-\frac{x}{4}+\int_a^b \frac{tx}{4}u(t)dt,a=0, b=\frac{1}{2}$
Подскажите, где можно почитать, как такое решать. Или подскажите алгоритм решения таких примеров.

[ewert]

Это -- интегральное уравнение конечного ранга; более того, его ранг равен единице. Т.е. уравнение вида $u(x)=f(x)+g(x)\int\limits_a^bh(t)\,u(t)\,dt.$ Стандартно решение такого уравнения ищется в виде $u(x)=f(x)+\alpha\cdot g(x).$ Подставляйте это выражение в уравнение -- и находите $\alpha$.

[Respan]

Извините, не очень понял куда подставляем $u(x)$. Подставляем вместо $u(t)$?

[ewert]

Respan в сообщении #588866 писал(а):

Извините, не очень понял куда подставляем $u(x)$. Подставляем вместо $u(t)$?

Не $u(x)$ или $u(t)$, а просто $u$. А уж аргумент выбираем тот, который нужен по месту.

[Respan]

Вот что получилось:
$u(x)=\sin x-\frac{x}{4}+\frac{x}{4}\int_0^\frac{1}{2} t(\sin t-\frac{t}{4}+\frac{\alpha t}{4})dt$
Считаем интеграл
$\int_0^\frac{1}{2} t(\sin t-\frac{t}{4}-\frac{\alpha t}{4})dt = \frac{1}{96} (-1+a-48 \cos (1/2)+96 \sin(1/2))$

$u(x)=\sin x-\frac{x}{4}+\frac{x}{384} (-1+a-48 \cos (1/2)+96 \sin(1/2))$$
А как $\alpha$ выразить?

[ewert]

Подставлять надо в обе части уравнения -- в т.ч. и в левую.

[Respan]

Благодарю Вас, все получилось. Тему можно закрыть.