Двайной маятник

[Bilor]

Помогите решить задачу 3.4.17 из задачника Савченко


3.4.17. Собственные частоты двойного маятника равны ω1 и ω2. Длина
нити, связывающей шарики маятника, равна l. В состоянии равновесия нижнему
шарику сообщили небольшую скорость v. Определите максимальное отклонение
нижнего шарика от положения равновесия и длину нити, связывающей верхний
шарик с потолком.


Двойной маятник означает, что от шарика одного (верхнего) маятника подвешен еще один (нижний) маятник.

[Bilor]

На случай, если кто то захочет посмотреть рисунок, привожу ссылку откуда возможно посмотреть задачник Савченко

http://www.inp.nsk.su/~telnov/mech/zada ... chenko.pdf

[Munin]

На этом форуме принято сначала приводить попытки самостоятельного решения. Потом вам начнут отвечать. И пишите вместо ω1 и ω2 - $\omega_1$ и $\omega_2$, получится $\omega_1$ и $\omega_2.$

Олимпиадного в этой задаче ничего нет, стандартная учебная.

[bigarcus]

И пишите "двойной".

[ewert]

Munin в сообщении #588581 писал(а):

Олимпиадного в этой задаче ничего нет, стандартная учебная.

Но ведь не для физматдетишек же, коим адресован задачник!

Формально там надо решать систему из двух дифуров второго порядка. И если собственные частоты (и, соответственно, вторую длину) ещё можно, наверное, подобрать, исходя из соображений здравого смысла, то вот с подгонкой под начальные условия -- уже хуже. Я даже не уверен, что ответ в книжке насчёт максимального отклонения правилен -- там ввиду несоизмеримости периодов явно должно выползти нечто трансцедентное.

Про отсутствие упоминания в условии задачки про соотношение масс лучше уж и вовсе умолчим.

-- Вс июн 24, 2012 21:40:13 --

Munin в сообщении #588581 писал(а):

Олимпиадного в этой задаче ничего нет, стандартная учебная.

Но ведь не для физматдетишек же, коим адресован задачник!

Формально там надо решать систему из двух дифуров второго порядка. И если собственные частоты (и, соответственно, вторую длину) ещё можно, наверное, подобрать, исходя из соображений здравого смысла, то вот с подгонкой под начальные условия -- уже хуже. Я даже не уверен, что ответ в книжке насчёт максимального отклонения правилен -- там ввиду несоизмеримости периодов явно должно выползти нечто трансцедентное.

Про отсутствие упоминания в условии задачки про соотношение масс лучше уж и вовсе умолчим.

[MajorUrsus]

Ответ:$$
Если частоты $\omega _1,\omega _2$ несоизмеримы, то максимальное отклонение нижнего шарика от положения равновесия
$\sup \mid x(t)\mid = \frac {v}{\mid\omega _2^2-\omega _1^2\mid}\{\frac {\mid \omega _2^2-\frac gl\mid}{\omega _1}+\frac {\mid \omega _1^2-\frac gl\mid}{\omega _2}\}$,
длина нити, связывающей верхний шарик с потолком
$L=g(\frac {1}{\omega _1^2}+\frac {1}{\omega _2^2})-l$.
Несмотря на относительную простоту ответа, "олимпиадного" решения не нашел, задачу решал "технически":
Так как в начальный момент верхний шар покоится, то движение будет происходить в одной плоскости (вращение Земли и другие эффекты не учитываем).
Обозначим абсолютные отклонения от вертикали, длину нити и массу верхнего шара через $X(t)$, L, M, а нижнего через $x(t)$, l, m.
Тогда лагранжиан в линейном приближении (очень малые отклонения):
$L_S=M\frac {\dot X^2}{2}+m\frac {\dot x^2}{2}-g(\frac{M+m}{L}+\frac ml)\frac {X^2}{2}-g\frac ml\frac {x^2}{2}+g\frac ml Xx$.
Уравнения движения:
$M\ddot X+g(\frac{M+m}{L}+\frac ml)X-g\frac ml x=0$,
$m\ddot x+g\frac ml x-g\frac ml X=0$.
Ищем гармонические решения, получаем уравнение частот:
$\omega ^4 - (1+\frac mM)(\frac 1l+\frac 1L)g\omega ^2 +(1+\frac mM)\frac{g^2}{Ll}=0$.
Уравнение частот имеет два решения $\omega _1, \omega _2$, которые по теореме Виета связаны отношением
$\omega _1^2+\omega _2^2=(1+\frac mM)(\frac 1l+\frac 1L)g$,
$\omega _1^2\omega _2^2=(1+\frac mM)\frac{g^2}{Ll}$,
откуда легко находим
$l+L=g(\frac {1}{\omega _1^2}+\frac {1}{\omega _2^2})$.
Вычислив с учетом начальных условий амплитудные векторы системы находим в явном виде график движения нижнего шара:
$x(t) = \frac {v}{\omega _2^2-\omega _1^2}\{\frac {(\omega _2^2-\frac gl)}{\omega _1}\sin{\omega _1t}-\frac {(\omega _1^2-\frac gl)}{\omega _2}\sin{\omega _2t}\}$.
Если частоты $\omega _1,\omega _2$ несоизмеримы, то получаем вышеприведенный ответ, если соизмеримы - простой ответ не просматривается.
При максимальном отклонении шары покоятся.

[Munin]

MajorUrsus
За решение стандартных учебных задач, вместо спрашивающих, здесь полагается по шапке от модераторов. Политика такая: мы не решаем за людей задачи, а только помогаем им самим их решать, подсказываем и наталкиваем на решение.

[MajorUrsus]

Ну вот, весь кайф мне обломали...
Мне казалось здесь, на подфоруме "Олимпиадные", можно предлагать решения.
А если задача из разряда "Помогите решить, разобраться", то ее надо как-то обозначить, показать, что нельзя решать или переместить. А то я собираюсь решать и другие задачи, так что: молчать?

[Munin]

Нет, если вы предлагаете своё решение на оценку окружающим, тогда нормально. Но следите, чтобы это всё-таки не было прямой подсказкой возможным халявщикам.

[MajorUrsus]

Спасибо, учту Ваш совет в будущем.
К счастью прошло уже почти 3 месяца с даты опубликования задачи, халявщик уже получил по заслугам.