Совершенные множества

[Sellmon]

В википедийной статье про совершенные множества(http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0% ... 0%B2%D0%BE) приведена теорема Кантора — Бендиксона:
Всякое множество вещественных чисел есть объединение совершенного множества своих точек конденсации и счётного множества.
И у меня после прочтения этой теоремы и других свойств совершенных множеств закралось подозрение, что эта теорема подразумевает положительное решение континуум-гипотезы. Я прав?

[muzeum]

Да, действительно, в Вики написана чушь:
1. "Множество точкек конденсации любого множества замкнуто, более того,
если оно непусто, то является совершенным множеством и имеет мощность континуума."
Это утверждение из Вики, конечно, верное. Но из него получается неверное заключение в той же Вики:
2. "Всякое множество вещественных чисел есть объединение совершенного множества своих точек конденсации и счётного множества. " - это неверное заявление, которое явилось следствием предыдущего с добавленным неверным предположением, что множество точек конденсации некоторого множества является его же подмножеством.

[Sellmon]

Спасибо большое, только остается вопрос, как по нормальному эта теорема формулируется. Я в гугле посмотрел, википедия это не единственное место, где она так сформулирована.

[muzeum]

Цитата:

только остается вопрос, как по нормальному эта теорема формулируется

Вы будете смеяться, но так она формулируется и в математической энциклопедии. Но тут нужно уточнение: говоря о совершенном подмножестве своих точек конденсации, мы должны иметь ввиду, что понятие "совершенное" должно относиться к самому множеству, а не ко всему множеству действительных чисел. Т.е. речь идет о подмножестве точек конденсации данного множества, принадлежащих данному же множеству. Это множество замкнуто, относительно данного множества и не имеет изолированных точек. Это, однако, не означает, что оно является совершенным ядром данного множества. Такового ядра может и не быть.
Впрочем, есть другие теоремы:
1. Банаха - Мычельского, утверждающая, что каждое мн-во действительных чисел обладает свойством Бэра.
2. Теорема Девиса: Каждое несчетное множество действительных чисел содержит совершенное подмножество.
Но эти теоремы доказываются в предположении аксиомы детерминированности и противоречат аксиоме выбора.