Интегральное уравнение с сингулярным ядром

[blinded]

Есть уравнение следующего вида(уравнение Вольтерра с разностным сингулярным ядром):

$$\int_\beta^\infty \frac{C(p)}{\sqrt{p-\beta}} dp = f(\beta)$$

Функция $f(\beta)$ при $\beta$ стремящемуся к нулю имеет логарифмическую особенность. Требуется определить поведение функции $C(p)$ при p стремящемся к нулю.
Сдается мне, что такие уравнения уже давно исследованы и описаны в соответствующей литературе. Был бы очень благодарен за информацию о том где можно прочитать про асимптотический анализ подобных уравнений.

[Oleg Zubelevich]

ну, видимо, $C(p)\sim \mathrm{const}/\sqrt p$

[sup]

Это интегральное преобразование Абеля. У него вроде как есть "простое" обращение.

[Oleg Zubelevich]

Кажется я там выше неправыильно сказал, должно быть

$$C(p)\sim\mathrm{const}\frac{\ln p}{\sqrt{p}}$$

[blinded]

Oleg Zubelevich
Спасибо.
У меня такая проблема. Когда решаю полную задачу, а потом смотрю асимптотику $C(p)$то получаю зависимость ~ $\frac{1}{\sqrt{p}}$, когда же анализирую задачу изложенную выше, то получаю $\frac{ \operatorname{Log(p)}}{\sqrt{p}}$. Вопрос: Может быть так, что решение задачи не единственно?

[sup]

Единственность решения должна быть в достаточно широких классах. Ваш интегральный оператор с точностью до множителя реализует связь функции и ее нормальной производной на краю для уравнения теплопроводности в полуплоскости $x>0$. На эту тему наверняка имеются "тонны" литературы (как связаны краевые значения решений эллиптических и параболических уравнений, "точные" пространства которым они принадлежат и тп). Раньше такие уравнения исследовались в пространствах Гельдера. Ну а сейчас с помощью теории интерполяции получены куда более широкие и точные результаты.
Более точно, рассмотрим задачу в области $x>0, -\infty <t < \infty$
$U_t - U_{xx}=0$
$U_x| \limits_{x=0}=v(t)$
Обозначим
$U| \limits_{x=0}=u(t)$
Тогда для некоторой константы $A$
$u(t)=A\int \limits_{-\infty}^{t} \frac {v(s)}{\sqrt {t-s}}ds$
(вроде бы $A = -1/\sqrt \pi$ ).
Отсюда следует, что для некоторой константы $B$
$v(t)=B\int \limits_{-\infty}^{t} \frac {u'(s)}{\sqrt {t-s}}ds$
Интегрируя по частям, можно получить и такое представление
$v(t)=B_1\int \limits_{-\infty}^{t} \frac {u(s)-u(t)}{{(t-s)}^{3/2}}ds$
Если $u(t)$ в окрестности нуля ведет себя как логарифм плюс "хорошая добавка" (удовлетворяет условию Гельдера с показателем больше $1/2$), то там же должна быть асимптотика
$v(t) \sim 1/ \sqrt t$

[Vince Diesel]

blinded в сообщении #587248 писал(а):

У меня такая проблема. Когда решаю полную задачу, а потом смотрю асимптотику $C(p)$то получаю зависимость ~ $\frac{1}{\sqrt{p}}$, когда же анализирую задачу изложенную выше, то получаю $\frac{ \operatorname{Log(p)}}{\sqrt{p}}$. Вопрос: Может быть так, что решение задачи не единственно?

Пространства Гельдера определены и для отрицательных показателей гладкости, как частный случай пространств Бесова: $H^\alpha=B^\alpha_{\infty\infty}$ при нецелых $\alpha$. Операторы дифференцирования и интегрирования являются непрерывными в этой шкале (с повышением и понижением показателя на единицу). Рассматриваемый оператор это типа интегрирования порядка $1/2$. Как написал sup, обратный будет дифференцированием порядка $1/2$. Если предположить, что эти операторы также непрерывны (хотя бы локально в смысле гладкости, чтобы не обсуждать поведение на неограниченном множестве) в шкале $$H^\alpha$, $\alpha\in\mathbb R$, то возможно след. объяснение. Пространство $H^0$ $-$ это пространство, содержащее и обобщенные функции. Среди основных есть и с логарифмическими особенностями. Однако не любая такая функция принадлежит $H^0$. Если предположить, что правая часть из $H^0$, (например, это возможно, если в задаче она получена опять же дробным дифференцированием из функции класса $H^{1/2}$), то оператор дробного дифференцирования должен перевести ее в класс $H^{-1/2}$, а там логарифмов может и не быть. В след. смысле: если функция основная (гладкая) при $x>0$, то растет не быстрее $x^{-1/2}$ при $x\to+0$.

[blinded]

Всем спасибо за потраченное время. Похоже, что разобрался.