Найти значение параметра при которых система уравнений ...

[larkova_alina]

Найти значение параметра $a$, при которых система уравнений
$\begin{cases} x^2+(y-2)^2=1,\\ y=ax^2.\\ \end{cases}$ имеет хотя бы одно решение.
Знаю, что можно решать графически, но меня сейчас интересует аналитический метод.
Хочу в нем разобраться.
Проверьте пожалуйста, все ли переходы у меня правильны?
Если $a=0,$ то очевидно решений нет.
Пусть теперь $a\neq 0.$
$x^2=\frac{y}{a}.$ Подставим в первое уравнение:
$\frac{y}{a}+y^2-4y+4=1,$
$ay^2+(1-4a)y+3a=0,$
$y_1=\frac{4a-1+\sqrt{4a^2-8a+1}}{2a},\;\;y_2=\frac{4a-1-\sqrt{4a^2-8a+1}}{2a};$
$x_1^2=\frac{4a-1+\sqrt{4a^2-8a+1}}{2a^2},\;\; x_2^2=\frac{4a-1-\sqrt{4a^2-8a+1}}{2a^2}.$
Для конкретного $a$ пара $(x_1, y_1)$ будет решением системы, если выражения для $x_1$ и $y_1$ будут иметь смысл.
$\begin{cases} 4a^2-8a+1\geqslant 0\\ 4a-1+\sqrt{4a^2-8a+1}\geqslant 0\\ x\neq 0\\ \end{cases}$ $\Longleftrightarrow \begin{cases} 4a^2-8a+1\geqslant 0\\ \sqrt{4a^2-8a+1}\geqslant 1-4a\\ x\neq 0\\ \end{cases}$ $\Longleftrightarrow a\geqslant \frac{2+\sqrt{3}}{2}.$
Аналогично для $(x_2, y_2):$
$\begin{cases} 4a^2-8a+1\geqslant 0\\ 4a-1-\sqrt{4a^2-8a+1}\geqslant 0\\ x\neq 0\\ \end{cases}$ $\Longleftrightarrow \begin{cases} 4a^2-8a+1\geqslant 0\\ 4a-1\geqslant \sqrt{4a^2-8a+1}\\ x\neq 0\\ \end{cases}$ $\Longleftrightarrow \varnothing.$
Ответ: Система будет иметь хотя бы одно решение при $a\geqslant \frac{2+\sqrt{3}}{2}.$

[ewert]

Жуть какая-то (хоть ответ и правилен). Просто подставьте игрек из второго уравнения в первое -- и потребуйте, чтобы полученное биквадратное уравнение для иксов имело решения. Сразу же получится простенькая система неравенств; $1-4a\leqslant0,\ (1-4a)^2-12a^2\geqslant0$ (ну и ещё $a\neq0$).

[mihailm]

при чем здесь х не равный нулю не ясно, это первое
а во вторых вторая система очевидно неверно решена, большие а подходят

[muzeum]

Цитата:

Ответ: Система будет иметь хотя бы одно решение при $a\geqslant \frac{2+\sqrt{3}}{2}.$

Решение можно упростить с помощью теоремы Виетта (для определения положительности дроби $\frac{y}{a}$.
Действительно, уравнение
$ay^2+(1-4a)y+3a=0,$
эквивалентно следующему (очевидно, что $a\ne0$):
$y^2+\frac{1-4a}{a}y+3=0$.
Если это уравнение имеет корень (возможно кратный), то оба корня имеют одинаковый знак, т.к. их произведение положительно. Для того, чтобы был хотя бы один корень был подходящим, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при $y$ был противоположного знака, сравнительно с $a$, т.е.
$1-4a\le0$, т.е. $a\ge0,25$
Условие на дискриминант дает $a\geqslant \frac{2+\sqrt{3}}{2}.$ или $a\leqslant \frac{2-\sqrt{3}}{2}.$
В итоге получаем Ваш ответ.

[bot]

larkova_alina в сообщении #587001 писал(а):

Знаю, что можно решать графически, но меня сейчас интересует аналитический метод.

Геометрически всё предельно ясно - критический случай, когда окружность и парабола касаются. Вот с этого места и начинается аналитика.

[larkova_alina]

mihailm в сообщении #587047 писал(а):

при чем здесь х не равный нулю не ясно, это первое
а во вторых вторая система очевидно неверно решена, большие а подходят

Да, Вы правы. Вместо $x\neq 0$ нужно читать $a\neq 0$.
А решение 2-й системы будет такое же как и первой: $a\geqslant \frac{2+\sqrt{3}}{2}. $