Функциональные уравнения МАРАФОН

[asjeykg]

HI!!!
Давайте начнем марафон задач по функциональным уравнениям....

Правила простые:

!) Задаются только олимпиадные задачи
!!) Если кто-то срешит задачу то он или она должен(а) задать новую задачу.

Вот и первое уравнение:

Задача № 1:

Найдите все функции $ f :\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} $ такие что для любых $ x,y\in\mathbb{R} $ выплнено равенство $ (1+f(x)f(y))f(x+y)=f(x)+f(y) $

-- 19.06.2012, 22:56 --

Еще одна более легкая задача

Задача № 2:
Найдите все функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ такие что $\forall x,y \in \mathbb{R}$ выполнено уравнение:
$f(xf(x)+f(y)) = f(x)^2 + y$

[Tanechka]

...

[Toucan]

Tanechka в сообщении #586967 писал(а):

Кстати, у меня возник вопрос

Некстати. Замечание за оффтопик.
Задайте свой вопрос в отдельной теме.

[griboedovaa]

Задача № 2:
x=0, $f(f(y))=y$ f-biectevyn ,pust
$f(a)=0 , x=y=a , f(af(a)+f(a))=a ,f(0)=a,f(f(0))=f(a)=0,f(0)=0, y=0, f(xf(x))=f(x)^2, x=f(x),f(xf(f(x))=f(f(x))^2,f(x^2)=x^2, f(x)=x , f(x^2+y)=x^2+y, f(x)=x$

Задача № 1:
esli f(x)=0 obrazom yavlayetsya toko 0 to znya chto f(x)-nechetnaya,mojno vurazit f(2x) cherez f(x) i reshit kvadratnoe uravnenie ,a potom uporadochit paru.
pust $f(a)=0,x=0,f(a+y)=f(y),f(ka)=0,gde k celoe$ f-periodichen ,pust gcd(p,q)=1=gcd(k,q)=1 i p+k delitsya na q .vozmem $x=(p/q)a,y=(k/q)a,f((p/q)a)+f((k/q)+a)=0$otkuda f centralno simmetrichen otnositelno centra a/2,mojno dalee vzyat 2k ochen bolshim i poluchim chto funkcia gomotetichno uvelichitsya na vsy osi.
???a mojno li tak vzyat $f(x)=e^{xg(x)}$????pri uslovii chto f(x)>0 dlya lybogo x?

-- 20.06.2012, 01:02 --

последовательность первые два члена котороый равны 1 и 2 соответсвенно,а каждый следующий член задается линейным функционалом, наименьшее натуральное число,которое ещё не втретилось в последовательности и которое не взаимно просто с предыдущим членом последовательности.докажите ,что каждое натуральное число входит в последовательность

журнал квант 2003 год номер 6

[asjeykg]

первая задача решение красивое. Но вы упустили$f(x)=-x$. оно тоже является решением.

-- 20.06.2012, 01:11 --

Отлично! продолжаем...............

-- 20.06.2012, 01:38 --

а давайте здесь будем обсуждать только тему функциональные уравнения. Так как на другие задачи есть другие маравоны............

[asjeykg]

Кто нибудь может посоветовать какую нибудь книгу на функциональные уравнения

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Пожалуйста, переведите Ваши сообщения с транслита на какой-нибудь из языков форума (русский или английский).

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тему вернул.

griboedovaa, замечание за транслит.

[griboedovaa]

Найдите все непрерывные функции из множества действительных во множество действительных чисел удовлетворяющие $f(x+y)+f(xy)+1=f(x)+f(y)+f(xy+1)$

[Edward_Tur]

griboedovaa в сообщении #587271 писал(а):

Найдите все непрерывные функции из множества действительных во множество действительных чисел удовлетворяющие $f(x+y)+f(xy)+1=f(x)+f(y)+f(xy+1)$

$f(x)=ax^2+bx+1-a-b$
Украина МО-2005

[asjeykg]

Edward_Tur в сообщении #587844 писал(а):

griboedovaa в сообщении #587271 писал(а):

Найдите все непрерывные функции из множества действительных во множество действительных чисел удовлетворяющие $f(x+y)+f(xy)+1=f(x)+f(y)+f(xy+1)$

$f(x)=ax^2+bx+1-a-b$
Украина МО-2005

можете решение написать?

[asjeykg]

Задача № 4:

Найдите все такие функции такие что $f(x^3+y^3)=xf(x^2)+yf(y^2)\ ,\ (\forall)x,y\in \mathbb{R}$

[griboedovaa]

$y:=-y$возьмем предел к x,от-куда функция непрерывна
$x=0,f(x^3)=xf(x^2),тогда f(x^3+y^3)=f(x^3)+f(y^3),равносильно f(x+y)=f(x)+f(y), f(x)=ax,f(x)=0$

[Edward_Tur]

Найдите все непрерывные функции из множества действительных во множество действительных чисел удовлетворяющие $f(x+y)+f(xy)+1=f(x)+f(y)+f(xy+1)$
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=336764

Найдите все такие функции такие что $f(x^3+y^3)=xf(x^2)+yf(y^2)\ ,\ (\forall)x,y\in \mathbb{R}$
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=336995


http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?id=33486