Случайные блуждания с поглощением - объясните пжл на пальцах

[DTF]

Есть статья в википедии, но там такие формулы, что на них страшно смотреть :)


Есть еще статейка в интернете, после прочтения которой и появился вопрос.

Кратко перескажу статью:

Пьяница стоит на расстоянии одного шага от края пропасти. Он шагает случайным образом либо влево к краю утеса либо вправо от него. На каждом шагу вероятность отойти от края равна q, а шаг к краю имеет вероятность 1-q. Каковы шансы пьяницы избежать падения?

Решение:
Обозначим $P_n$ - вероятность упасть в пропасть, будучи на расстоянии n шагов. Из условия следует, что $P_n = (1-q)P_{n-1} + qP_{n+1}$

С другой стороны, $P_{n+1} = P_1P_n$, т.к. верояность из любой точки сдвинуться на шаг влево к пропасти равна вероятности упасть в пропасть из точки 1.

Из $P_{n+1} = P_1P_n$ следует $P_n = P_1^n$
Подставляем в первое уравнение, сокращаем, получаем $P_1 = (1-q) + qP_1^2$, или $qP_1^2 - P_1 + (1-q) = 0$

Это квадратное уравнение относительно $P_1$ имеет два решения - $P_1 = 1$ и $P_1 = \frac{1}{q} - 1$

Т.к. $0 \leqslant P_1 \leqslant 1$, то при $q < \frac{1}{2}$ решение одно и все хорошо, а вот при $q > \frac{1}{2}$ решений два, какое из них брать - неочевидно.

В статье аргументация следующая: $P_1(q)$ непрерывна по q, $P_1(1) = 0$, поэтому берется решение $P_1 = \frac{1}{q} - 1$.

Но непрерывность они не доказывают, о чем прямым текстом и говорят.

Вопрос: как доказать эту непрерывность? Или, может быть, есть более простой способ решить задачу?

[DTF]

И еще, не могли бы вы прокомментировать корректность постановки задачи?

Ведь (классическая) вероятность определяется через отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов.

Однако тут процесс может быть бесконечным, и непонятно, как считать исходы...
У Виленкина разбираются подобные задачи, но там количество шагов конечно...

[PAV]

Тут есть две новости: хорошая и не очень. Хорошая новость заключается в том, что Вы задаете хорошие и правильные вопросы. Однако простых и удовлетворительных ответов на них скорее всего не будет.

Да, данное "элементарное" решение этой задачи немного жульническое. Оно действительно использует непрерывность, однако строгое доказательство этой непрерывности - задача нетривиальная. Во всяком случае, мне неизвестно, как это доказать. Я когда-то давно думал над этим, и за помощью обращался, однако, насколько я помню, в итоге успеха так и не добился. Если не ошибаюсь, я мог доказать эту самую непрерывность для значений вероятности между нулем и единицей, однако в точке 1 так и не вышло.

Так что элементарного и одновременно строгого решения задачи, видимо, нет. Строгое, но нетривиальное есть: эту задачу можно решить с помощью специальной техники работы со случайными процессами, о которой можно прочитать, например, в учебнике Ширяева "Вероятность". Не исключено, что и решение задачи там же можно найти, только там это будет задача о разорении игрока.

Что же касается второго вопроса, то классическое задание вероятности как отношение числа исходов есть простейший и достаточно частный случай. Существует множество вероятностных моделей, которые к нему нельзя свести. И общий случай к нему также не сводится. А тем более в этой задаче, где речь идет о случайных процессах - для них вероятностная модель строится достаточно сложным образом, эти модели на мехмате даже не изучают в курсе теории вероятностей, а проходят на год позже, в курсе случайных процессов.

[_hum_]

А разве здесь не из той же оперы, что и "устойчивое/неустойчивое решение". То есть, непрерывность не выводится, а постулируется, исходя из содержательной постановки задачи (например, невозможности на практике гарантировать абсолютную точность значения $q$)?

P.S. Кстати, не потерялось ли случаем нулевое решение?

[мат-ламер]

_hum_ в сообщении #586911 писал(а):

P.S. Кстати, не потерялось ли случаем нулевое решение?

А единичное? Решение с первого поста вызывает сомнение. По-моему, надо изучить, что делается за конечное число шагов, а затем число шагов устремить к бесконечности.

-- Вт июн 19, 2012 22:20:18 --

Точнее, я хотел сказать, что из рассуждений первого поста отнюдь не следует, что $P_1=1$ не является решением для любых $q$. Тут нужны дополнительные рассмотрения.

[мат-ламер]

На первом шаге пьяница падает в пропасть с вероятностью $p$. На третьем шаге - с вероятностью $qp^2$ ... Вообщем, надо просуммировать ряд $S=p+qp^2+2q^2p^3+5q^3p^4+9q^4p^5+...$. Сумма этого ряда вычисляется через сумму ряда $T=S(1-pq)$.

[Veron92]

DTF в сообщении #586017 писал(а):

И еще, не могли бы вы прокомментировать корректность постановки задачи?

Ведь (классическая) вероятность определяется через отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов.

Однако тут процесс может быть бесконечным, и непонятно, как считать исходы...
У Виленкина разбираются подобные задачи, но там количество шагов конечно...

Если решать задачу в лоб (методом грудой силы), то это делается довольно легко через производящую функцию чисел Каталана. Тоесть, если вероятность падения на первом шаге равна p, то общая вероятность падения равняется p*((1-sqrt(1-4*p*(1-p)))/(2*p*(1-p)))

[Pphantom]

Veron92, не стоит отвечать на сообщения шестилетней давности, да и формулы надо оформлять правильно.