Сходимость 2 интегралов и 1 ряда

[samuil]

1) Исследовать на сходимость

$\displaystyle\int_0^1\Big|\dfrac{x^{1/2}-x^{-1/2}}{\ln x}\Big|dx$

На обеих концах особенность и чтобы избавиться от модуля...

$$\displaystyle\int_0^1\Big|\dfrac{x^{1/2}-x^{-1/2}}{\ln x}\Big|dx=\displaystyle\int_0^1\Big|\dfrac{x-1}{\sqrt{x}\cdot \ln x}\Big|dx=\displaystyle\int_0^1\Big|\dfrac{1-x}{\sqrt{x}\cdot \ln x}\Big|dx=\displaystyle\int_0^{0,5}\Big|\dfrac{1-x}{\sqrt{x}\cdot \ln x}\Big|dx+\displaystyle\int_0^{0,5}\Big|\dfrac{1-x}{\sqrt{x}\cdot \ln x}\Big|dx$$

Далее хочется заменить $t=\ln x$ Поможет?

2) Исследовать на сходимость

$\displaystyle\int_{-1}^1\sin\frac{1+x}{1-x}\cdot \dfrac{dx}{(1-x^2)^2}$

Интуиция подсказывает, что нужно сделать замену, но не очевидно - какую..

3) Исследовать на равномерную сходимость

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n|x|^{3/2}}{(1+n^3x^2)^3}$

Поможет ли для исследования равномерной сходимости использование признака Даламбера?

Еще есть мысль посчитать предел общего члена на бесконечности и попробовать оценить ряд сверху, нужно ли?

[ex-math]

1) Интеграл по окрестности нуля сравните с интегралом от $1/\sqrt x$, а в окрестности единицы замените $t=1-x$ и сравните подынтегральную функцию с постоянной.

2) Тоже смотрите окрестности особенностей, заменяя $t=1\pm x$. Там расходимость.

3) Какая есть простая верхняя оценка для общего члена, если считать $|x|\geqslant\varepsilon$?

[samuil]

ex-math в сообщении #586499 писал(а):

1) Интеграл по окрестности нуля сравните с интегралом от $1/\sqrt x$, а в окрестности единицы замените $t=1-x$ и сравните подынтегральную функцию с постоянной.

2) Тоже смотрите окрестности особенностей, заменяя $t=1\pm x$. Там расходимость.

3) Какая есть простая верхняя оценка для общего члена, если считать $|x|\geqslant\varepsilon$?

Спасибо.
1) А разве $\displaystyle\int_0^{0,5}\Big|\dfrac{1-x}{\sqrt{x}\cdot \ln x}\Big|dx\leqslant \displaystyle\int_0^{0,5}\dfrac{dx}{\sqrt{x}}$

Если да, то мне пока что не очевидно - почему

[ex-math]

$\frac{\ln(1+t)}{t}$ стремится к единице при $t$, стремящемся к нулю.

[samuil]

ex-math в сообщении #586541 писал(а):

$\frac{\ln(1+t)}{t}$ стремится к единице при $t$, стремящемся к нулю.

Точно, узнаю следствие второго замечательного предела

Теперь все ясно с первым примером, предельный признак сравнения, если использовать, то все получится.

Сейчас про второй и 3 напишу

-- 18.06.2012, 22:14 --

2) Исследовать на сходимость

$\displaystyle\int_{-1}^1\sin\frac{1+x}{1-x}\cdot \dfrac{dx}{(1-x^2)^2}=\displaystyle\int_{-1}^0\sin\frac{1+x}{1-x}\cdot \dfrac{dx}{(1-x^2)^2}+\displaystyle\int_{0}^1\sin\frac{1+x}{1-x}\cdot \dfrac{dx}{(1-x^2)^2}$

Рассмотрим особенность в $x=1$ для интеграла $\displaystyle\int_{0}^1\sin\frac{1+x}{1-x}\cdot \dfrac{dx}{(1-x^2)^2}$

$\Big[t=1-x\;\;\;\;\;x=1-t\;\;\;\;x+1=2-t\;\;\;\;\;dx=-dt\;\;\;\;\;2<t<0\Big]$

$=-\displaystyle\int_{2}^0\sin\frac{2-t}{t}\cdot \dfrac{dx}{t^2(2-t)^2}=\displaystyle\int_{0}^2\sin\frac{2-t}{t}\cdot \dfrac{dt}{t^2(2-t)^2}$

Есть идея использовать предельный признак сравнения (подынтегральная функция неотрицательна. Можно сравнить с $\displaystyle\int_{0}^2\dfrac{dt}{t^2}$ ???

Правда предела не будет все-таки, так как синус на бесконечности - не понятно что...

-- 18.06.2012, 22:24 --

3) Исследовать на равномерную сходимость

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n|x|^{3/2}}{(1+n^3x^2)^3}$

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n|x|^{3/2}}{(1+n^3x^2)^3}\leqslant \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n|x|^{3/2}}{(n^3x^2)^3}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^8x^{9/2}}$

Если $|x|\geqslant\varepsilon$, то $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n|x|^{3/2}}{(1+n^3x^2)^3}\leqslant \dfrac{1}{\varepsilaon^{9/2}}\cdot \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^8}$

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^8}$ сходится, значит и исходный ряд сходится равномерно. Так ли это?

А что будет, если $|x|<\varepsilon$ ?

[ex-math]

1) Только у Вас с пределами какая-то путаница. Вторым замечательным пределом мы пользуемся в окрестности $x=1$, там и $1/\sqrt x$ ограничена. А в окрестности $x=0$ $(1-x)/\ln x$ ограничена.

2) Расходимость проще увидеть в точке $x=-1$, заменяя $t=x+1$. И опять повнимательнее с пределами интегрирования -- все время путаются они у Вас.

3) Да, так. В окрестности нуля не могу никак понять, что происходит, хотя что-то подсказывает, что и там все хорошо.

[samuil]

ex-math в сообщении #586731 писал(а):

1) Только у Вас с пределами какая-то путаница. Вторым замечательным пределом мы пользуемся в окрестности $x=1$, там и $1/\sqrt x$ ограничена. А в окрестности $x=0$ $(1-x)/\ln x$ ограничена.

2) Расходимость проще увидеть в точке $x=-1$, заменяя $t=x+1$. И опять повнимательнее с пределами интегрирования -- все время путаются они у Вас.

3) Да, так. В окрестности нуля не могу никак понять, что происходит, хотя что-то подсказывает, что и там все хорошо.

Спасибо

1) $\displaystyle\int_0^1\Big|\dfrac{x^{1/2}-x^{-1/2}}{\ln x}\Big|dx$

После замены $t=1-x$ будет $-\displaystyle\int_{1}^{0}\dfrac{t}{\sqrt{1-t}\cdot\ln(1-t)}dt=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t}{\sqrt{1-t}\cdot\ln(1-t)}dt$

Сравним с $C$ в окрестности $t=0$ (то есть в окрестности $x=1$)

$\displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{t}{C\cdot \sqrt{1-t}\cdot\ln(1-t)}=\dfrac{1}{C}$

Тогда все сходится

2) $\displaystyle\int_{-1}^1\sin\frac{1+x}{1-x}\cdot \dfrac{dx}{(1-x^2)^2}$

После замены $t=x+1$ получается почти тоже самое....

$\Big[t=1+x\;\;\;\;\;x=t-1\;\;\;\;1-x=2-t\;\;\;\;\;dx=dt\;\;\;\;\;0<t<2\Big]$

$=\displaystyle\int_{0}^2\sin\frac{t}{2-t}\cdot \dfrac{dt}{t^2(2-t)^2}$

Пока не знаю - что дальше.

3) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n|x|^{3/2}}{(1+n^3x^2)^3}$

Быть может в окрестности нуля - хорошо, но в самом нуле - явно нет равномерной сходимости, вроде как..

[ewert]

samuil в сообщении #586768 писал(а):

Пока не знаю - что дальше.

Вернуться назад и с самого начала взять в качестве новой переменной выражение под синусом.

samuil в сообщении #586546 писал(а):

3) Исследовать на равномерную сходимость

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n|x|^{3/2}}{(1+n^3x^2)^3}$

$\dfrac{n|x|^{3/2}}{(1+n^3x^2)^3}=n^{-5/4}\dfrac{(n^3x^2)^{3/4}}{(1+n^3x^2)^3}$, и дробь равномерно ограничена.

[ex-math]

ewert в сообщении #586779 писал(а):

и дробь равномерно ограничена

Блестяще! Значит, интуиция все-таки не подвела.

1) Все-таки особенность в нуле не забудьте исследовать.

2) Не обязательно делать такую сложную замену. Чтобы установить расходимость, достаточно воспользоваться тем, что $\sin x$ эквивалентен $x$ при $x$, стремящемся к нулю. Это можно сделать даже не вводя никаких замен, в окрестности точки $-1$.

[samuil]

ewert в сообщении #586779 писал(а):

Вернуться назад и с самого начала взять в качестве новой переменной выражение под синусом.

$\displaystyle\int_{-1}^1\sin\frac{1+x}{1-x}\cdot \dfrac{dx}{(1-x^2)^2}$

$t=\dfrac{1+x}{1-x}$

$(1+x)=t(1-x)$

$x(t+1)=t-1$

$x=\dfrac{t-1}{t+1}$

$dx=\dfrac{2dt}{(1+t)^2}$

Проблема в том, что при такой замене верхний предел бесконечен.

-- 19.06.2012, 12:46 --

ewert в сообщении #586779 писал(а):

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n|x|^{3/2}}{(1+n^3x^2)^3}$

$\dfrac{n|x|^{3/2}}{(1+n^3x^2)^3}=n^{-5/4}\dfrac{(n^3x^2)^{3/4}}{(1+n^3x^2)^3}$, и дробь равномерно ограничена.[/quote]

А чем именно она ограничена? А если $x$ - очень мал?

-- 19.06.2012, 12:48 --

ex-math в сообщении #586788 писал(а):

1) Все-таки особенность в нуле не забудьте исследовать.

2) Не обязательно делать такую сложную замену. Чтобы установить расходимость, достаточно воспользоваться тем, что $\sin x$ эквивалентен $x$ при $x$, стремящемся к нулю. Это можно сделать даже не вводя никаких замен, в окрестности точки $-1$.

Сейчас уже нужно бежать, сделаю через 1,5 часа примерно!

[ex-math]

samuil в сообщении #586790 писал(а):

А чем именно она ограничена? А если - очень мал?

Рассмотрите два случая: $n^3x^2$ меньше единицы и больше единицы.

[samuil]

ex-math в сообщении #586794 писал(а):

samuil в сообщении #586790 писал(а):

А чем именно она ограничена? А если - очень мал?

Рассмотрите два случая: $n^3x^2$ меньше единицы и больше единицы.

Ох, точно)

А почему это неверно, я проверил пределы интегрирования, вроде все ок.

Цитата:

Рассмотрим особенность в $x=1$ для интеграла $\displaystyle\int_{0}^1\sin\frac{1+x}{1-x}\cdot \dfrac{dx}{(1-x^2)^2}$

$\Big[t=1-x\;\;\;\;\;x=1-t\;\;\;\;x+1=2-t\;\;\;\;\;dx=-dt\;\;\;\;\;2<t<0\Big]$

$=-\displaystyle\int_{2}^0\sin\frac{2-t}{t}\cdot \dfrac{dx}{t^2(2-t)^2}=\displaystyle\int_{0}^2\sin\frac{2-t}{t}\cdot \dfrac{dt}{t^2(2-t)^2}$

Есть идея использовать предельный признак сравнения (подынтегральная функция неотрицательна. Можно сравнить с $\displaystyle\int_{0}^2\dfrac{dt}{t^2}$ ???

Правда предела не будет все-таки, так как синус на бесконечности - не понятно что...

-- 19.06.2012, 14:52 --

Про эквивалентность:

В окрестности $x=-1$

$\sin\Big(\dfrac{1+x}{1-x}\Big)\cdot \dfrac{1}{(1-x^2)^2}\sim \dfrac{1+x}{1-x}\cdot \dfrac{1}{(1-x^2)^2}=\dfrac{1}{(1+x)(1-x)^3}$

Да, тут функция не ограничена, но как это может помочь?

[ex-math]

samuil в сообщении #586841 писал(а):

тут функция не ограничена

Более того, интеграл от нее расходится. Так что Вашу подынтегральную функцию можно в окрестности точки $-1$ оценить снизу как $C/(x+1)$. Или, если больше нравится, $\sim1/(8(x+1))$.

[samuil]

ex-math в сообщении #586845 писал(а):

samuil в сообщении #586841 писал(а):

тут функция не ограничена

Более того, интеграл от нее расходится. Так что Вашу подынтегральную функцию можно в окрестности точки $-1$ оценить снизу как $C/(x+1)$. Или, если больше нравится, $\sim1/(8(x+1))$.

Ок, спасибо. А что с окрестностью $x=1$ все-таки? (ведь расходимость в $-1$ непозволяет сказать про расходимость всего интеграла? (может ведь получиться $\infty-\infty$))

[ex-math]

Там тоже расходится. Но придется делать замену "по ewertу". Или хотя бы $t=1/(1-x)$.
Но для установления расходимости всего интеграла достаточно расходимости в окрестности одной из особенностей. Случай, как Вы выразились, $ может иметь место, например, для интегралов в смысле главного значения, т.е. там, где стремление пределов собственного интеграла к особым точкам происходит согласовано. Скажем,

$$ \lim_{\delta\to+0}\int_{-1+\delta}^{1-\delta}f(x)dx. $$