Наименьший по модулю свободный член

[Ktina]

Дан многочлен $P(x)$ с целочисленными коэффициентами.
Известно, что

$$P(20)=P(12)=2012$$

Чему равен свободный член этого многочлена, если этот свободный член - наименьший по модулю из всех возможных?

[hippie]

Ответ: 92.

Любой многочлен, удовлетворяющий условиям задачи, представляется в виде $2012+P(x)(x-12)(x-20),$ где $P(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами.

[Ktina]

hippie в сообщении #586664 писал(а):

Ответ: 92.

Любой многочлен, удовлетворяющий условиям задачи, представляется в виде $2012+P(x)(x-12)(x-20),$ где $P(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами.

Ой, а у меня -28 получилось
Я воспользовалась следствием теоремы Безухова Безу, гласящим, что $P(x)-P(y)$ делится на $x-y$.
Тогда $P(20)-P(0)$ должно делиться на 20, а $P(12)-P(0)$ должно делиться на 12. Таким образом $2012-P(0)$ должно делиться на 60, отсюда выводим, что свободный член даёт остаток 32 при делении на 60. Наименьший такой по модулю примет значение -28.

Где прокол?

[nnosipov]

Ktina в сообщении #586761 писал(а):

Где прокол?

А Вы доказали, что этот минимум достигается? А он и не достигается, кстати.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #586764 писал(а):

Ktina в сообщении #586761 писал(а):

Где прокол?

А Вы доказали, что этот минимум достигается? А он и не достигается, кстати.

Вы правы, не доказала.
Можно сказать, что -28 является теоретическим минимумом, не достижимым в реальности

[nnosipov]

Ktina в сообщении #586766 писал(а):

Можно сказать, что -28 является теоретическим минимумом, не достижимым в реальности

Ну да, это только кандидат в минимумы. Вот и перебирайте их все подряд, пока не наткнётесь на настоящий минимум.

[hippie]

hippie в сообщении #586664 писал(а):

Любой многочлен, удовлетворяющий условиям задачи, представляется в виде $2012+P(x)(x-12)(x-20),$ где $P(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами.

Когда я писал решение, не обратил внимания, что буква "$P$" уже занята.
Исправляю:
Любой многочлен, удовлетворяющий условиям задачи, представляется в виде $P(x)=2012+Q(x)(x-12)(x-20),$ где $Q(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами.

Ktina в сообщении #586761 писал(а):

Ой, а у меня -28 получилось
Я воспользовалась следствием теоремы Безухова Безу, гласящим, что $P(x)-P(y)$ делится на $x-y$.
Тогда $P(20)-P(0)$ должно делиться на 20, а $P(12)-P(0)$ должно делиться на 12. Таким образом $2012-P(0)$ должно делиться на 60, отсюда выводим, что свободный член даёт остаток 32 при делении на 60. Наименьший такой по модулю примет значение -28.

Это только необходимое условие, но не достаточное.
Предположим, что свободный член равен $-28.$
Тогда многочлен представляется в виде $xP_1(x)-28,$ где $P_1$ — многочлен с целыми коэффициентами. При этом $P_1(12)=(2012+28):12=170$ и $P_1(20)=(2012+28):20=102.$ Таким образом $P_1(12)-P_1(20)=-68$ — не кратно 8. Противоречие