Несобственные интегралы

[kot_matroskin]

подскажите пожалуйста если не сложно

1) исследовать интеграл на сходимость,в зависимости от параметра a.

$$\int_{-\infty}^{0}e^{ax}dx$$

для положительных а интеграл сходится - это я доказал,а вот с отрицательным проблема,вроде ясно,что он будет расходиться,а вот как это доказать - не пойму.
2)

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac {(x-1)\sin(2x)}{x^2-4x+5}$$

Доказываю по признаку Дирихле:

$$f(x)=\sin(2x)$$

интеграл от синуса очевидно ограничен,а

$$g(x)=\frac {x-1}{x^2-4x+5}$$

монотонно стремится к нулю на промежутках $(-\infty;0)$ и $(0;+\infty)$
единственная проблема, в том,функция имеет по одному экстремуму на каждом из этих промежутков,то есть нарушается монотонность. Преподаватель сказал,что это вообще не проблема - есть утверждение,позволяющее легко обойти эту проблему - я, если честно,не понял. Единственное чего пришло на ум это разбить интеграл на большее количество частей - но это бред.

[ИСН]

Значит, надо делать бред.

[Shtorm]

kot_matroskin в сообщении #585236 писал(а):

1) исследовать интеграл на сходимость,в зависимости от параметра a.

$$\int_{-\infty}^{0}e^{ax}dx$$

для положительных а интеграл сходится - это я доказал,а вот с отрицательным проблема,вроде ясно,что он будет расходиться,а вот как это доказать - не пойму.

Да очень просто, когда подставляете в пределе в показатель экспоненты $-\infty$ то при умножениии на отрицательные значения параметра $a$ получаете экспонету в степени $+\infty$.

[kot_matroskin]

а что делать с коэффициентом -1/a который появляется при нахождении первообразной? Ведь в пределе получается минус бесконечность,т.е. отрицательная площадь -

[ИСН]

[kot_matroskin]

можно ли разбить промежуток интегрирования на три части(во втором интеграле)?

[ИСН]

Да хоть на двадцать, кто мешает-то?

[kot_matroskin]

А еще вопрос: можно ли при доказательстве сходимости пользоваться разными признаками на различных промежутках?

[svv]

Конечно, тогда преподаватель увидит, как много Вы их знаете!

[ИСН]

Ну, подобное вроде бы не подпадает под те статьи Административного кодекса, за которые недавно повысили штраф, если Вы об этом.
А если с точки зрения математики, то достаточно двух утверждений:
1. Если доказано, что интеграл сходится на промежутке - значит, он на нём сходится.
2. Если интеграл сходится на двадцати промежутках, то сходится и на их объединении тоже.

[kot_matroskin]

а вот с этим что делать: найти все значения параметра $\alpha$ при которых сходится интеграл -

$$\int_0^{\infty} \frac {x^{\alpha}\sqrt{e^{a x}-1-\alpha x}} \sqrt{x} + x^{\frac 4 3}$$

то,что он сходится при $\alpha=0$ - это понятно,а вот дальше пока тупик

[ИСН]

dx

[Shtorm]

kot_matroskin в сообщении #585663 писал(а):

а что делать с коэффициентом -1/a который появляется при нахождении первообразной? Ведь в пределе получается минус бесконечность,т.е. отрицательная площадь -

Если в ответе получается "минус бесконечность" - то интеграл расходится. Но в Вашем примере, при отрицательных значениях $a$ получается плюс бесконечность. Посчитайте получше.