Эллиптическая кривая. Доказать.

[Коровьев]

Доказать, что если эллиптическая кривая
$y^2 = (x - x_1 )(x - x_2 )(x - x_3 )$
с рациональными $x_1,x_2,x_3$ имеет нетривиальную рациональную точку, то она рационально эквивалентна эллиптической кривой
$y^2 = (x + a^2 )(x + b^2 )(x + c^2 )$ с целыми $a,b,c$

(Оффтоп)

Рационально эквивалентна - т.е. существует рациональное преобразование переменных, переводящее одну кривую в другую.
Доказательство элементарно и коротко. Самое сложное вспомнить, как решаются квадратные уравнения. Ну, или заглянуть в справочник. Есть и формулы, позволяющие найти это преобразование

[temp03]

Обобщение кривой Фрея?

[Коровьев]

temp03 в сообщении #585329 писал(а):

Обобщение кривой Фрея?

Что вы, Фреем тут и не пахнет. Всё гораздо проще. Чистая школьная алгебра средних классов типа, обозначим это так, а это так, это туда, это сюда. Но изюминка есть.

[scwec]

Пусть $P$ - эта самая нетривиальная рациональная точка. Рассмотрим точку $2P=(x_0,y_0)$. Известно, что $x_0-x_1, x_0-x_2,x_0-x_3$ являются полными квадратами.
$x_0-x_1=a^2, x_0-x_2=b^2, x_0-x_3=c^2$.
Положим $X+x_0=x$.
Тогда $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=(X+a^2)(X+b^2)(X+c^2)$.
$a,b,c$ пока рациональные числа. Переход к целым.
Подробно. $a=\frac{a_1}{a_2}, b=\frac{b_1}{b_2}, c=\frac{c_1}{c_2}$.
Положим $\bar X={a_2}^2{b_2}^2{c_2}^2X, \bar Y={a_2}^3{b_2}^3{c_2}^3{y}$.
Тогда ${\bar Y}^2=(\bar X+{a_1}^2{b_2}^2{c_2}^2)(\bar X+{b_1}^2{a_2}^2{c_2}^2)(\bar X+{a_2}^2{b_2}^2{c_1}^2)$.

(Оффтоп)

Примечание. Нетривиальность рациональной точки может означать все что угодно. Надеюсь, я правильно понял, что это такое

[nnosipov]

Нетривиальная --- эта та, у которой $y_0 \neq 0$?

[scwec]

(Оффтоп)

Действительно, чего это я?

[Коровьев]

Красиво scwec
Красиво решать не запретишь
У меня решение нудненькое, но без доп.знаний о удвоении точек.
$ y^2 = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) $
$a,b,c$ рациональны.
Пусть это эллиптическое уравнение имеет рациональную точку (s,q)
$ q^2 = \left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right) $
Обозначим
$ s - a = m $
$ s - b = n $
$ m, n $ - рациональные
Тогда
$ s - c = mnt^2$
при некотором рациональном $ t $
$ a - c = m\left( {nt^2 - 1} \right) $
$ b - c = n\left( {mt^2 - 1} \right) $
$ m = \frac{{a - c}}{{nt^2 - 1}}$
$ b - c = n\frac{{\left( {a - c} \right)t^2 + 1 - nt^2 }}{{nt^2 - 1}}$
$ n\left( {b - c} \right)t^2 - \left( {b - c} \right) = n\left( {a - c} \right)t^2 + n -n^2 t^2 $
$ n^2 t^2 - n\left[ {\left( {a - b} \right)t^2 + 1} \right] - \left( {b - c} \right) =0 $
Поскольку это уравнение с рациональными коэффициентами имеет рациональное решение относительно $ n $, то его дискриминант есть квадрат рационального числа

$\Delta = d^2 = \left[ {\left( {a - b} \right)t^2 + 1} \right]^2 + 4\left( {b - c} \right)t^2 = \left[ {\left( {a - b} \right)t^2 + 1} \right]^2 + 4\left( {b - c} \right)t^2 + \left[ {4\left( {a - b} \right)t^2 - 4\left( {a - b} \right)t^2 } \right] = \left[ {\left( {a - b} \right)t^2 - 1} \right]^2 + 4\left( {a - c} \right)t^2 $
Отсюда
$a-c=h^2-u^2$
$b-c=h^2-v^2$
При некоторых рациональных $h,u,v$
Дальше примерно, как у scwec

[scwec]

Бывает.

[Коровьев]

Продолжим.
Итак, из первоначального уравнения задачи мы получили рационально эквивалентное уравнение
$y^2 = (x + a^2 )(x + b^2 )(x + c^2 )$ с целыми $a,b,c$
Это уравнение помимо целой точки при $x=0$ имеет ещё, как минимум, четыре нетривиальные целые точки при любых целых $a,b,c$
Найти эти точки.

[scwec]

Вообще-то при $x=0$ имеются две целые точки. $P_1=(0,abc)$ и $P_2=(0,-abc)$.
А как Вы ведете счет другим четырем точкам. Считаете пару $P$ и $-P$ за одну точку?

[Коровьев]

За одну, иначе их есть у меня 8 штук.

-- Вс июн 17, 2012 17:49:40 --

Может поможет реальный пример.
Уравнение
$y^2 = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x + 9} \right) = x^3 + 14x^2 + 49x + 36 $ имеет такие точки.
$x=-7,-5,1,11$

[Коровьев]

Закончим.
$x_1 = ab + bc + ca$
$\[ \begin{array}{l} y^2 = \left[ {\left( {ab + bc + ca} \right) + a^2 } \right]\left[ {\left( {ab + bc + ca} \right) + b^2 } \right]\left[ {\left( {ab + bc + ca} \right) + c^2 } \right] = \\ \left[ {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \right]\left[ {\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)} \right]\left[ {\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)} \right] = \left[ {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)} \right]^2 \\ \end{array} \] $
Остальные точки
$x_2 = - ab + bc - ca$
$x_3 = - ab - bc + ca$
$x_4 = ab - bc - ca$

И вот вопрос, а может ли быть ранг такой кривой равен ровно 1?

[scwec]

Очень поучительный пример 4-х целых точек.
Что касается ранга, то вот кривая из этой серии ранга 1.
$Y^2=(X+4^2)(X+20^2)(X+28^2)$ - соответствует кривой $y^2=x^3-36x$.
Примеров много.
Кстати, объявленная кривая $y^2=x^3+14x^2+49x+36=(x+1)(x+4)(x+9)$ тоже имеет ранг 1.