Три бегуна- перебор

[Keter]

Из пункта $A$ одновременно стартуют три бегуна и одновременно финишируют в том же пункте, пробежав по маршруту, состоящему из прямолинейных отрезков $AB, BC, CA$, образующих треугольник $ABC$. На каждом из указанных отрезков скорости у бегуна постоянны и равны: у первого $10, 16$ и $14$ км / ч соответственно, у второго-$12, 10$ и $16$ км / ч соответственно. Третий бегун в пунктах $B$ и $C$ оказывается не один и меняет скорость на маршруте один раз. Установить, является ли треугольник $ABC$ остроугольным или тупоугольным.

$\cos \alpha = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Остаётся понять какой знак у выражения $a^2 + b^2 - c^2$.

Что с третьим бегуном делать? Так как он в пункте $B$ оказался не один, то скорость его была $10$ или $12$.
Я окончательно запутался в вариантах. И как выяснять на сколько ему скорость увеличивать?? Может, принять отрезок за 1. Или составить уравнение с временем? Типа $\frac{a}{10}+\frac{b}{12}=\frac{c}{x}$ или что-то в этом роде?

-- 18.06.2012, 10:23 --

Если принять, что $AB=a, BC=b, AC=c$, то

$\frac{a}{10}+\frac{b}{16}+\frac{c}{14}=\frac{a}{12}+\frac{b}{10}+\frac{c}{16}$ (1)

-- 18.06.2012, 10:26 --

Похоже эта задача на перебор вариантов. Их очень много

-- 18.06.2012, 10:36 --

Третий бегун:

1) $\frac{a}{12}+\frac{b}{10}=\frac{a}{10}+x$

2) $\frac{a}{10}+\frac{b}{10}=\frac{a}{12}+x$

Однозначно, третий не может иметь на первых двух интервалов две разные, но совпадающие с первым или втором скорости, иначе ему придется и третий раз менять.

[svv]

Keter в сообщении #586258 писал(а):

Что с третьим бегуном делать? Так как он в пункте $B$ оказался не один, то скорость его была $10$ или $12$.

Правильно. Можно сказать, что участок $AB$ он бежал "ноздря в ноздрю" с первым или со вторым бегуном.
Но так как он и в точке $C$ с кем-то встретился, а в $A$ прибежали все одновременно, то на участке $CA$ он тоже бежал с кем-то рядом, значит, на этом участке его скорость была $14$ или $16$.

Дальше, понятно ли, что он не мог на участках $AB$ и $CA$ бежать рядом с одним и тем же бегуном? (Учтите, что третий менял скорость один раз, а остальные -- два раза)

[Keter]

svv в сообщении #586268 писал(а):

Keter в сообщении #586258 писал(а):

то на участке $CA$ он тоже бежал с кем-то рядом, значит, на этом участке его скорость была $14$ или $16$.

Это невозможно. Для этого он должен тогда и с кем то одновременно бежать на участке $BC$. (это я про скорость)

У меня сейчас представляется целая гора, Океания вариантов... Не дружу я с этими задачами.

[svv]

Ну если он с этим бегуном встретился в $C$ и с ним же потом в $A$ и скорость обоих на этом участке была постоянна?
Обещаю, что сейчас останется один-два варианта. Давайте сначала делать очевидные выводы, не требующие даже вычислений.

[Sender]

Кстати, легко заметить, что 3-й бегун не мог начать забег со скоростью 10 км/ч, а закончить - со скоростью 16 км/ч.

[svv]

... потому что тогда он достигнет финиша либо раньше первого, либо позже второго.

[Keter]

svv, я так понял, что третий начал со скоростью $12$ и в $B$ оказался со вторым. А потом ему нужно изменить скорость так, чтобы он в $C$ оказался с первым и закончил путь одновременно с первым и вторым. Это правильно?

[svv]

Единственный момент: изменить скорость третий мог как в $B$, так и в $C$.
По крайней мере, мы пока не доказали, что какой-то из этих вариантов можно отбросить.

[Yu_K]

такая вот (х-t) диаграмма к задачке. Наклоны пропорциональны скоростям - красные линии - варианты движения третьего бегуна, синие и зеленые - два других бегуна.

[svv]

У зеленого бегуна на каждом следующем отрезке скорость всё меньше. Как там его фамилия? Судя по условию, это не может быть ни Первухин, ни Вторяков.

[Yu_K]

svv
Да точно зеленый не из этой задачи - спринтер - устает видимо... Но главное, что тут две пары параллельных отрезков должно быть и начало и конец должны совпадать.

[Keter]

Итак, я разобрался, что третий бегун начал бежать со скоростью $12$ км/ч, оказавшись в пункте $B$ со втором, затем, не меняя скорости, добежал до пункта $C$ и оказался там с первым(это нужно обосновать как-то), в этом же пункте он стал бежать со скоростью $14$ км/ч и финишировал одновременно с двумя другими бегунами. Правильно?

[svv]

Да, это правильно.

Третий бежал $AB$ со вторым ($v=12$), потом второй изменил скорость ($v=10$), а третий нет. Значит, в точку $C$ третий пришел без второго (второй отстал). Но так как по условию там был ещё один бегун, это мог быть только первый.

Я рассматривал всё-таки ещё один вариант, когда третий изменил скорость в точке $B$. Этот вариант доводится почти до самого конца, и отбрасывается только потому, что в нём нарушается неравенство треугольника. Всё хорошо, а неравенство треугольника нарушается.

Вариант же, когда третий изменил скорость в $C$, доводится до конца, и там всё в порядке.

[Keter]

svv, а чем обосновать то, что третий не меняя скорости в $C$ оказался с первым?

[svv]

В этой задаче мы отбрасываем несколько вариантов на основании каких-то простых соображений (см. ниже), и у нас остаются только два: $12, 14, 14$ и $12, 12, 14$. Их приходится рассматривать уже всерьёз. При анализе $12, 14, 14$ оказывается, что полученный "треугольник" не удовлетворяет неравенству треугольника, и этот вариант тоже приходится отбросить. Остается вариант $12, 12, 14$. Он доводится до конца и полученное решение удовлетворяет всем условиям.

То есть краткий ответ на Ваш вопрос -- "методом исключения остальных вариантов".

Давайте я перечислю все изначальные варианты и ещё раз напишу, какие отбрасываются и почему:
а) $10,10,14$ -- придет позже первого
б) $10,14,14$ -- придет позже первого
в) $10,10,16$ -- придет позже второго
г) $10,16,16$ -- придет раньше первого
д) $12,12,14$ -- правильный вариант, рассмотрение приводит к ответу
е) $12,14,14$ -- противоречит неравенству треугольника
ж) $12,12,16$ -- придет раньше второго
з) $12,16,16$ -- придет раньше второго