интеграл с дифференциальной формой 2-го порядка

[igor520]

Пусть $S$ - внешняя сторона поверхности
$S=\left\{1=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9},z\geqslant 0\right\}$
вычислить
$\underset{S}{\int \int }z \text{dx} \wedge \text{dy}+\cos (y)\text{dy}\wedge \text{dz}$

решение (возможно, что правильное)
$\wedge$ - это аналог векторного произведения
$S$ - верхняя половина эллипсоида

исходя из симметрии эллипса по $x$, часть интеграла обращается в ноль, а именно
$\underset{S}{\int \int }\cos (y)\text{dy}\wedge \text{dz}=0$
поскольку $\underset{x>0}{\int \int }\cos (y)\text{dy}\wedge \text{dz}=-\underset{x<0}{\int \int }\cos (y)\text{dy}\wedge \text{dz}$

остается часть
$\underset{S}{\int \int }z \text{dx} \wedge \text{dy}$

если я правильно понимаю выражение $\text{dx} \wedge \text{dy}$, то интеграл превращается в двойной интеграл по области, ограниченной окружностью $1=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}$
т.е.
$\int _0^23\sqrt{1-\frac{r^2}{4}}2\pi rdr = 8\pi$
правильный ли ответ и решение?

[svv]

igor520 писал(а):

исходя из симметрии эллипса по $x$, часть интеграла обращается в ноль, а именно
$\underset{S}{\int \int }\cos (y)\text{dy}\wedge \text{dz}=0$
поскольку $\underset{x>0}{\int \int }\cos (y)\text{dy}\wedge \text{dz}=-\underset{x<0}{\int \int }\cos (y)\text{dy}\wedge \text{dz}$

Это совершенно правильно, но есть более универсальное соображение. Оно особенно важно именно в теории дифференциальных форм, и даёт возможность почувствовать её мощь.

Форма $\cos y\;dy\wedge dz$ замкнута, т.е. дифференциал от неё равен нулю:
$d(\cos y\;dy\wedge dz)=0$
Более того, она точна, т.е. является дифференциалом 1-формы:
$d(\sin y\;dz)=d(\sin y)\wedge dz+\sin y\;d^2 z=\cos y\;dy\wedge dz$

В таком случае по теореме Стокса интеграл от 2-формы $\cos y\;dy\wedge dz$ по Вашей поверхности равен интегралу от 1-формы $\sin y \; dz$ по границе Вашей поверхности:
$\underset{S}{\int \int }\cos y\;dy\wedge dz=\underset{\partial S}{\int}\sin y\;dz$

А что за граница $\partial S$? Это окружность $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1,\;z=0$. Но это даже не важно, что окружность. Так как граница лежит в плоскости $z=\operatorname{const}$, а 1-форма пропорциональна $dz$, то интеграл по границе (и даже по любому её участку) равен нулю.

Вы только представьте: сама поверхность может быть не то что несимметричной, а просто ужасающей на вид, такой же может быть и граница. Но если граница лежит в плоскости $z=0$, то
$\underset{S}{\int \int }\cos y\;dy\wedge dz=\underset{\partial S}{\int}\sin y\;dz=0$

[igor520]

спасибо за объяснение!!!

[svv]

Эх, много здесь ещё всякого интересного...

Как, например, в уме вычислить оставшуюся первую часть интеграла $\underset{S}{\iint }z \; dx \wedge dy$ ?
Дополним нашу поверхность кругом $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}\leqslant 1,\;z=0$. Интеграл от этого не изменится, так как на круге $z=0$.

Так как поверхность теперь замкнутая, можно применить теорему Стокса:
$\underset{\partial G}{\iint}z \; dx \wedge dy = \underset{G}{\iiint}d(z \; dx \wedge dy)=\underset{G}{\iiint} dx \wedge dy \wedge dz$
Здесь $G$ -- половина эллипсоида, а $\partial G$ -- его граница, т.е. наша новая замкнутая поверхность.

$dx\wedge dy \wedge dz$ -- это форма объёма. Поэтому наш интеграл равен просто объёму половины эллипсоида с полуосями $a=2,b=2,c=3$:
$V=\frac 1 2\cdot \frac 4 3\pi abc=8\pi$

[igor520]

супер!!!