Нахождение изображения интеграла оригинала

[vruleb]

Очень прошу помочь решить это задание. Сам я, сколько не пытался, решить не смог. $\int_{0}^{t} \tau^2 e^{3\tau} d \tau $
Изображение $e^{3\tau}$ - $\frac{1}_{p-3}$,
$\tau^{2}$ - $2p^{3}$. Как действовать дальше совсем не понимаю, в теоретических материалах подобных решений не было. . Судя по всему нужно применить свойства смещения , производной изображения и интеграла оригинала, но вот как...

[ewert]

vruleb в сообщении #585317 писал(а):

$\tau^{2}$ - $2p^{3}$.

Нет.

vruleb в сообщении #585317 писал(а):

. Судя по всему нужно применить свойства смещения , производной изображения и интеграла оригинала, но вот как...

Начать с того, что не смешивать всё в кучу.

Сначала надо одно из трёх: или применить теорему о смещении изображения к изображению квадрата, или теорему о дифференцирования изображения к изображению экспоненты, или попросту найти в табличке подынтегральную функцию целиком.

А потом -- да, применить теорему об интегрировании оригинала.

[Someone]

Ну, Вы знаете, что $e^{at}\leftarrow\hskip-1ex:\frac 1{p-k}$.
Далее два раза применяете формулу дифференцирования изображения, чтобы получить изображение $t^2e^{at}$, и формулу интегрирования оригинала, чтобы получить изображение $\int\limits_0^t\tau^2e^{a\tau}d\tau$.
Вы эти формулы написать можете?

P.S. Символ $\leftarrow\hskip-1ex:$ можно изобразить как "\leftarrow\hskip-1ex:" (без кавычек, естественно).

[vruleb]

Могу, дифференцирование изображения, это умножение на $-t$, а интегрирование оригинала , это деление изображения на $p$. Получается, что нужно разделить $\frac{1}{p-3}$ на $p$?

[ewert]

Someone в сообщении #585337 писал(а):

Символ $\leftarrow\hskip-1ex:$ можно изобразить как "\leftarrow\hskip-1ex:"

Какой-то странный символ. Более общепринято $\risingdotseq$ и $\fallingdotseq$ . Правда, что считать переходом от оригинала к изображению, а что наоборот -- тут есть разные мнения. Мне первый значок кажется больше похожим на прямое преобразование.

[Someone]

(ewert)

Да кто как обозначает, по-моему. Я уже не помню, с каких пор этой стрелочкой пользуюсь.

vruleb в сообщении #585345 писал(а):

Могу, дифференцирование изображения, это умножение на $-t$, а интегрирование оригинала , это деление изображения на $p$.

А подробнее нельзя? В таком стиле хотя бы:
если $f(t)\leftarrow\hskip-1ex:f^*(p)$, то $f'(t)\leftarrow\hskip-1ex:pf^*(p)-f(0)$.

vruleb в сообщении #585345 писал(а):

Получается, что нужно разделить $\frac{1}{p-3}$ на $p$?

???

[vruleb]

Цитата:

А подробнее нельзя? В таком стиле хотя бы:
если $f(t)\leftarrow\hskip-1ex:f^*(p)$, то $f'(t)\leftarrow\hskip-1ex:pf^*(p)-f(0)$.

Можно и в таком. Дифференцирование изображения: $F'(p) \leftarrow\hskip-1ex: -tf(t)$ , интегрирование оригинала: $\int_{0}^{t} f(t)dt \leftarrow\hskip-1ex: \frac{F(p)}{p} $

[ewert]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #585351 писал(а):

Я уже не помню, с каких пор этой стрелочкой пользуюсь.

А я, по-моему, вижу её впервые. Конечно, обозначать можно как угодно и, действительно, на практике обозначают кто во что горазд. Но в любом случае: зачем эта стрелочка указывает направление обратного преобразования, а не прямого?...

[Someone]

vruleb в сообщении #585356 писал(а):

Дифференцирование изображения: $F'(p) \leftarrow\hskip-1ex: -tf(t)$

Лучше $t\,f(t)\leftarrow\hskip-1ex:-\frac{df^*(p)}{dp}$.

Ну так применяйте эти формулы в указанной последовательности. И каждый шаг здесь распишите.

ewert в сообщении #585362 писал(а):

зачем эта стрелочка указывает направление обратного преобразования, а не прямого?

Я привык думать, что она указывает на оригинал.

[vruleb]

Применяя формулу, F''(p) будет равен изображению оригинала $t^{2}e^{3t}$, то есть $\frac{2p^{3}}{p-3}$. Применяя формулу интегрирования, получается $\frac{2p^{3}}{p(p-3)}$, ведь так?

[Someone]

Неправильно. Я же просил расписать каждый шаг.
$e^{3t}\leftarrow\hskip-1ex:\frac 1{p-3}$
$t\,e^{3t}\leftarrow\hskip-1ex:\text{что надо сделать с $\frac 1{p-3}=$ что получится}$.
...

[vruleb]

Кажется дошло: применяя теорему смещения, получаем $-te^{3t}$\leftarrow\hskip-1ex: -\frac{1}{(p-3)^2}$, а $t^{2}e^{3t} \leftarrow\hskip-1ex: \frac{2}{(p-3)^3}$. А интеграл, стало быть, равен $\frac{2}{p(p-3)^3}$

P.S. И то первое значение равно не $2p^3$, а $\frac{2}{p^3}$, просто преподаватель дал неверную формулу.

[Someone]

vruleb в сообщении #585390 писал(а):

применяя теорему смещения, получаем $-te^{3t}\leftarrow\hskip-1ex: -\frac{1}{(p-3)^2}$

К чему Вы применяете теорему смещения, и зачем тут "минусы"?

[vruleb]

Someone в сообщении #585404 писал(а):

vruleb в сообщении #585390 писал(а):

применяя теорему смещения, получаем $-te^{3t}\leftarrow\hskip-1ex: -\frac{1}{(p-3)^2}$

К чему Вы применяете теорему смещения, и зачем тут "минусы"?

Применяю теорему смещения к изображению $\frac{1}{p^2}$ и $\frac{2}{p^3}$ по формуле $e^{p1t}f(t)\leftarrow\hskip-1ex:F(p-p1)$. Ну а минус тут потому что оригинал домножается на $-t$. Хотя его, наверно, можно и не писать.