Пара вопросов по мат.анализу.

[ChrShredinger]

Добрый вечер!
У меня пара вопросов:
1) Какое множество является одновременно открытым и замкнутым? Правильно я понимаю, что это пустое множество и все пространство Rn?
2) Какая функция не интегрируема по Риману, но ее модуль интегрируем?
Просто вроде бы если функция интегрируема, то и ее модуль тоже интегрируем, а тут как-то странно...
Спасибо. :)

[ewert]

1) да
2) функция Дирихле минус 1/2

[Nemiroff]

ChrShredinger в сообщении #585026 писал(а):

1) Какое множество является одновременно открытым и замкнутым? Правильно я понимаю, что это пустое множество и все пространство Rn?

Если в $\mathbb{R}^n$, то да.

ChrShredinger в сообщении #585026 писал(а):

2) Какая функция не интегрируема по Риману, но ее модуль интегрируем?

А какие вы знаете не интегрируемые по Риману функции?

ChrShredinger в сообщении #585026 писал(а):

Просто вроде бы если функция интегрируема, то и ее модуль тоже интегрируем

И?

ewert в сообщении #585029 писал(а):

функция Дирихле минус 1/2

[ChrShredinger]

Nemiroff
Да, в Евклидовом. Просто не с компьютера пишу. :)

Ну вот функция Дирихле! Вообще разрывные функции не интегрируемы по Риману.

Просто когда мы проходили это, нам сказали привести пример такой функции с объяснением. :(

[Nemiroff]

ChrShredinger в сообщении #585034 писал(а):

Ну вот функция Дирихле!

Ну да. Ну вам привели пример, реализующий простую идею: функция была плохой и разрывной в куче точек, потом стала константой.

ChrShredinger в сообщении #585034 писал(а):

Вообще разрывные функции не интегрируемы по Риману.

Не стоит быть столь категоричным.

[ChrShredinger]

Nemiroff в сообщении #585036 писал(а):

Не стоит быть столь категоричным.

Ну да... Я погорячилась. :)
Просто думаю все, и не могу понять. :(

[ChrShredinger]

Доброе утро!
У меня вопрос насчет открыто-замкнутого множества.
Правильно ли я понимаю, что $R^n$ - рассматривается как множество?
Если так, то могу ли я объяснить то, что оно одновременно открыто и замкнуто так:
Пусть ($R^n,\Omega) - топологическое пространство.
\emptyset,R^n\in\Omega, а т.к. элементы множества \Omega - открытые множества, то и $R^n$ - открыто.
Некое множество F\subset R^n замкнуто в ($R^n,\Omega), если R^n\F\in\Omega.
Т.к. R^n\subset R^n, то $R^n$\ $R^n$=\emptyset, и т.к. \emptyset\in\Omega, следовательно $R^n$ - замкнутое множество.
И из этого всего следует, что $R^n$ - одновременно открыто и замкнуто.
Правильно ли я пояснила? :)

[xmaister]

ChrShredinger в сообщении #590579 писал(а):

У меня вопрос насчет открыто-замкнутого множества.

Этот вопрос у Вас мог возникнуть, только если Вы определили топологию на $\mathbb{R}^n$

ChrShredinger в сообщении #590579 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что $R^n$ - рассматривается как множество?

Да

ChrShredinger в сообщении #590579 писал(а):

Пусть ($R^n,\Omega) - топологическое пространство.
\emptyset,R^n\in\Omega, а т.к. элементы множества \Omega - открытые множества, то и $R^n$ - открыто.
Некое множество F\subset R^n замкнуто в ($R^n,\Omega), если R^n\F\in\Omega.
Т.к. R^n\subset R^n, то $R^n$\ $R^n$=\emptyset, и т.к. \emptyset\in\Omega, следовательно $R^n$ - замкнутое множество.

Да, правильно поняли. Вообще, если Вы хотите доказать, что никакое кроме $\mathbb{R}^n$ и $\varnothing$ не является открыто-замкнутым в $\mathbb{R}^n$ (Это есть определние связноси пространства $\mathbb{R}^n$), то для начала докажите, что $\mathbb{R}$ -связно. Для этого достаточно (подумайте, почему?) доказать что пространство $\mathbb{R}$- линейно связно (т.е. для любых двух точек $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ сущесвует непрерывная функция $f:I\to\mathbb{R}$, такая что $f(0)=x_1,f(1)=x_2$). А теперь Вы знаете, что тихнонвское произведение пространств $\prod\limits_{s\in S}X_s$ связно тогда и только тогда когда связны все $X_s$, что и доставляет связность $\mathbb{R}^n$.

[ChrShredinger]

xmaister, спасибо огромное за ответ!

(Оффтоп)

Приятно, что я додумалась до этого объяснения сама.