Изоморфизм групп

[Naatikin]

Наведите на мысль
есть фактогруппа $GL(n,C)/H, H=\{A, \det A \in R_{>0}\}$ и группа $<\{z \in C: |z|=1\}; \cdot ^{-1}>$ нужно доказать что они изоморфны.

Сначало первая группа. Модуль равен 1, первоначально высчитал 8 комплексных элементов, кторые составляют группу, но потом прочёл, что модуль равный 1 это окружность соотвественно бесконечное число элементов.

Что касается второй группы: определитель больше нуля, если это треугольная матрица, на гл. диагонали которой есть либо все вещественные значения и попарно противоположны по знаку, либо комплексные попарно сопряженные.
Но если строить факторгруппу все элементы матрицы снова становятся комплексными.
буду рад помощи)

[AV_77]

Naatikin в сообщении #584572 писал(а):

$<\{z \in C: |z|=1\}; \cdot ^{-1}>$

Вот интересно, что за тенденция такая до крайности усложнять обозначения? Зачем эти фигурные скобки и что обозначает точка в минус первой степени?

Naatikin в сообщении #584572 писал(а):

Наведите на мысль
есть фактогруппа $GL(n,C)/H, H=\{A, \det A \in R_{>0}\}$ и группа $<\{z \in C: |z|=1\}; \cdot ^{-1}>$ нужно доказать что они изоморфны.

Сначала с $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) / H$ разберитесь. Что это за факторгруппа такая, из каких элементов смежные классы состоят. А потом уже и все решение видно будет.

[Naatikin]

обозначает мультпликативную группу с умножением и обратным элементом)

мб Н - центр группы?

[AV_77]

Naatikin в сообщении #584580 писал(а):

обозначает мультпликативную группу с умножением

Да это понятно. Но хотя бы запятую поставить надо :)

Naatikin в сообщении #584580 писал(а):

мб Н - центр группы?

Ну зачем гадать, просто опишите смежные классы. Вот есть у вас две матрицы $a$ и $b$. Когда они лежат в одном смежном классе по $H$?

[Naatikin]

разве чтобы описать смежный класс я не должен знать подгруппу $H$?
когда $aH=bH$?

[AV_77]

Naatikin в сообщении #584593 писал(а):

разве чтобы описать смежный класс я не должен знать подгруппу $H$?

Так ведь $H$ у вас задана - это подгруппа, состоящая из матриц, у которых определитель вещественный и положительный. Чего же еще надо?

Naatikin в сообщении #584593 писал(а):

когда $aH=bH$?

Вот и я про это спрашиваю.

[Naatikin]

когда $a=b$

[Joker_vD]

Забавно, с промежуточным гомоморфизмом $\mathrm{GL}_n(\mathbb C)\xrightarrow{\det}\mathbb C\xrightarrow{\varphi} T$ все очень наглядно — можно даже на бумажке нарисовать комплексную плоскость $\mathbb C$, единичную окружность $T$ и показать, как действует искомый $f=\varphi\circ\det$.

[Naatikin]

Ведь была теорема, что смежные классы либо совпадают, либо не имеют общих элементов следовательно a и b принадлежат одному классу, если $aH=bH$

[Joker_vD]

Ну, и когда же $aH=bH$?

[muzeum]

$R^+$ - группа положительных вещественных (мультикативная, конечно, как и все группы далее). Т.к. Н содержит ядро гомоморфизма $\mathrm{GL}_n(\mathbb C)\xrightarrow{\det}\mathbb C$ и образ Н есть $R^+$, то фактор группа $GL/H$ изоморфна фактор группе $C/R^+$.
Легко показать, что эта группа изоморфна окружности единичного радиуса.

[Naatikin]

если $a=hb, h\in H$

-- 13.06.2012, 23:57 --

Joker_vD
получается что для каждой матрицы находим определитель и он взаимнооднозначно отображается в точку на единичной окружности?

[Naatikin]

muzeum
по теореме о гомоморфизме групп: гомоморфный образ изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма, следует, что $GL/H $ изоморфен $R_+$, почему он будет изоморфен и факторгруппе $C/R_+$

[Joker_vD]

Naatikin в сообщении #584768 писал(а):

по теореме о гомоморфизме групп: гомоморфный образ изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма, следует, что $GL/H$ изоморфен $R_+$

Это как оно следует? Вы отображаете $\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$ на единичную окружность $T$ — кстати, как именно? — а не на $\mathbb R_+$, которое из $T$ ну никак не получается.

[Naatikin]

Joker_vD
$GL_n(C)$ на $T$: считаем определитель - получаем комплексное число. модуль комплексного числа это окружность, вот и получаем единичную окружность. так?

$R_+$ это образ гомоморфизма, а $H$ содержит ядро гоморфизма. Есть теорема, что
$G/\operatorname{Ker}(x) изоморфно $\operatorname{Im}(x)$, тогда $GL/H$ изоморфно $R_{+}$