Задача о евклидовом кольце

[correy]

Пусть $a \in Q_{p}$ (кольцо всех рациональных чисел, представимых в виде дроби со знаменателем, не делящимся на простое число $p$), $a= \varepsilon p^{k}$, где $\varepsilon \in Q^{*}_{p}$, $k \in N$. Доказать, что $Q_{p}$ - евклидово кольцо с нормой $N(a) = k$.

Вот такая задача, а мыслей у меня нет никаких конкретных по ней(

[correy]

Нет никаких наводок, куда копать?

[nnosipov]

correy в сообщении #581180 писал(а):

Нет никаких наводок, куда копать?

А здесь и думать нечего --- берёте определение евклидова кольца и проверяете, что все его условия тривиально выполняются.

[correy]

Цитата:

А здесь и думать нечего --- берёте определение евклидова кольца и проверяете, что все его условия тривиально выполняются.

Нам нужно показать, что кольцо обладает следующими свойствами:
1) Для любых $a \ne 0, b \ne 0$ справедливо $g(ab) \ge g(b)$
2) Для любых $a,b$, принадлежащих кольцу, существует представление $b=qa + r$, в котором $r=0$ или $g(r)<g(a)$.

Если взять за $g(a= \varepsilon p^{k}) = k$, то первое свойство доказывается очевидно. А как доказать второе? Как-то мне на ум не приходит решение так сразу(

[Joker_vD]

Хм. $a=\frac35\cdot2^3$, $b=\frac75\cdot2^3$. Ну и какое $q$ тут брать? Что ни возьми, у $a-bq$ можно будет вынести $2^3$.

[nnosipov]

Joker_vD в сообщении #581704 писал(а):

Хм. $a=\frac35\cdot2^3$, $b=\frac75\cdot2^3$. Ну и какое $q$ тут брать? Что ни возьми, у $a-bq$ можно будет вынести $2^3$.

Просто $a$ делится на $b$, остаток $r$ равен нулю (здесь $p=2$, как я понимаю).

[correy]

Кто-нибудь подскажет со вторым свойством?

[Joker_vD]

Вроде же nnosipov подсказал. Ну запишите $a=\frac{a_1}{a_2}p^{k_a}$, $b=\frac{b_1}{b_2}p^{k_b}$, $q=\frac{q_1}{q_2}p^{k_q}$, запишите $r=b-qa$ и поиграйтесь с коэффициентами.

[correy]

$g(r)=k_{b}-k_{q}k_{a}=k_{b}-k_{q}g(a)$.

А что еще из этого можно придумать - я как-то затрудняюсь ответить(

[Joker_vD]

Вы же помните, что $r$ записывается как $\frac{r_1}{r_2}p^{k_r}$?

Отлично, $k_b=k_a k_q+ k_r$, отсюда однозначно находятся $k_q,k_r$. Теперь ищите $q_1,q_2,r_1,r_2$.

[correy]

Цитата:

Вы же помните, что $r$ записывается как $\frac{r_1}{r_2}p^{k_r}$?

Помню.

Цитата:

Отлично, $k_b=k_a k_q+ k_r$, отсюда однозначно находятся $k_q,k_r$. Теперь ищите $q_1,q_2,r_1,r_2$.

как-то туго они находятся :(

[correy]

Что-то я совсем не соображу, как второе свойство доказать :( Помогите(

[RIP]

Что-то вы мудрите. Свойство тривиально: если $N(b)\geqslant N(a)$, то $b$ делится на $a$, а если $N(b)<N(a)$, то…

[correy]

Вроде разобрался, спасибо всем за помощь!