доказать аналитичность функции

[igor520]

Доказать, что функция
$f(z)=\int_1^\infty \frac{\cos(t)}{t^2-z^2}\,\mathrm{d}t$
аналитична в области $z\in C : z\notin (-\infty, -1] \cap (1, +\infty]$

с чего начать - пока не знаю..... c условий Коши-Римана?
также не знаю почему в условии на область использован знак пересечения, а не объединения...
задача из вступительных в магистратуру НГУ 2008-го года

[Padawan]

igor520 в сообщении #584334 писал(а):

также не знаю почему в условии на область использован знак пересечения, а не объединения...

Потому что опечатка.

Покажите, что этот интеграл равномерно сходится в некоторой окрестности любой точки $z$ из указанного множества. Отсюда все будет следовать.

[igor520]

ок, в целом я эту задачу решил записав $z=x+i y$, затем выполнив комплексное деление (умножил на сопряженный знаменатель)
комплексная и реальная часть разделилась в выражении под интегралом, т.е. получились $u(x,y), v(x,y)$
затем, используя формулу Лейбница о дифференцировании под интегралом, я продифференцировал по x и по y, и подставив в условие Коши-Римана получил тождество...
но учитывая огромный размер формул после дифференцирования, это не лучший способ...

отвечая на предыдущий пост:
интеграл сходится, потому что выражение под интегралом меньше по модулю, чем $1/t^2$, интеграл которого сходится... но что из этого следует? как можно доказать аналитичность исходя из этого наблюдения?

[tavrik]

мы в таких задачах(типовая, из тех что видел я, чаще звучит как: определите область аналитичности функции...тра та та...но в данном случае область вам уже дана) проверям обычно три вещи:

1) непрерывность подынтегральной функции на отрезке по $t$.
2) аналитичность(ее же, но уже по другой переменной) в $R$-области определения.
3) ограниченность (опять же ее ;) в окрестности любой точки эту окрестность назовем $D$ и как следствие в $[-1,1)\times{D}$

[ex-math]

igor520
Так делать не надо.
Вам уже подсказал Padawan, что нужно сделать.

Здесь два шага:

1. проверить непрерывность как функции двух переменных, аналитичность по $z$ при каждом $t$ -- этого достаточно для аналитичности функции, заданной собственным интегралом (доказательство -- формула Коши плюс теорема Фубини)

2. проверить равномерную сходимость интеграла на любом компакте, лежащем в гипотетической области аналитичности -- здесь полная аналогия с теоремой Вейерштрасса об аналитичности функций, заданных равномерно сходящимися рядами.

[ewert]

Лучше действовать в лоб:

$\dfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=(2z+\Delta z)\int\limits_1^{+\infty}\dfrac{\cos t}{(t^2-z^2)(t^2-(z+\Delta z)^2)}\,dt\,.$

Теперь существование предела при $\Delta z\to0$ следует хотя бы из равномерного по $t$ стремления $\dfrac1{t^2-(z+\Delta z)^2}$ к равномерно ограниченной $\dfrac1{t^2-z^2}$ и абсолютной схотимости интеграла от всего остального.

Полезно ещё доказать неаналитичность этой функции на тех двух полубесконечных промежутках.

[ex-math]

ewert в сообщении #584811 писал(а):

Полезно ещё доказать неаналитичность этой функции на тех двух полубесконечных промежутках.

А что там доказывать, если функция на них не определена, исключая нули косинуса?

[ewert]

ex-math в сообщении #584910 писал(а):

А что там доказывать, если функция на них не определена,

Она там вполне определена в смысле главного значения.

[ex-math]

Скорее так: какова бы ни была точка $x\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ и какова бы ни была ее окрестность, не существует аналитической в этой окрестности функции, совпадающей с $f(z)$ там, где последняя определена.

У меня вообще вышло, что $\pm1$ -- точки ветвления, при обходе вокруг которых $f(z)$ получает приращение $\frac{\pi i\cos z}z$.