Теорема Нильсена-Шрейера

[Unconnected]

Пусть $F$ - свободная группа, $H$ - не единичная подгруппа, $\to H$ - свободная группа, т.е. $\exists N\neq \varnothing$ , т.ч. $H \simeq F<N>$.

Где тут опечатка? $|F<N>|=|F|$ , и никак не может быть биекция с подгруппой..

[AV_77]

Вообще теорема Нильсена-Шрейера просто говорит о том, что неединичная подгруппа свободной группы сама является свободной группой.

Unconnected в сообщении #584023 писал(а):

$F<N>$.

А что у вас за обозначение?

[Unconnected]

$F<N>$ - это группа $F, N \subset F$, и выполняется:
Для любого $f:N \to G, то \exists ! g:F \to G, g$ - гомоморфизм, т.ч. $g|_N=f$.
(G - тоже группа)

[AV_77]

Понятнее не стало. Если $F < N >$ это $F$, то зачем тут $N$?

[Unconnected]

А это у нас одно и то же: так и написано $F<N>:=F$.

Ну или что тут имелось в виду: http://s55.radikal.ru/i148/1206/f4/fdee30f1e640.jpg (замечание справа внизу).

[apriv]

Unconnected в сообщении #584080 писал(а):

А это у нас одно и то же: так и написано $F<N>:=F$.

Феерично. Я все-таки думаю, что $F\langle N\rangle$ — это свободная группа на множестве образующих $N$. А из равенства мощностей, кстати, никак не следует, что «не может быть биекции с подгруппой».

[AV_77]

Ну если под $F\langle N \rangle$ понимать свободную группу, а $N$ - множество ее свободных образующих, то вы просто с обозначаниях немного запутались. Тогда для вас лучше так сформулировать (чтобы обозначения не пересекались):
Пусть $G$ - свободная группа, $H$ - ее неединичная подгруппа $\to$ $H$ - свободная группа, т.е. $\exists N \neq \varnothing$, т.ч. $H = F \langle N \rangle$.

[Unconnected]

Теперь понятно, спасибо.

Цитата:

А из равенства мощностей, кстати, никак не следует, что «не может быть биекции с подгруппой».

Как же это так?

[apriv]

Unconnected в сообщении #584093 писал(а):

Теперь понятно, спасибо.

Цитата:

А из равенства мощностей, кстати, никак не следует, что «не может быть биекции с подгруппой».

Как же это так?

А как следует? Вот группа $\mathbb Z$, в ней есть собственная подгруппа $2\mathbb Z$, они равномощны, и что?

[Unconnected]

Действительно, никак не следует

[Sonic86]

Лучше так свободные группы не обозначать - лучще писать $F(N)$ например