Площадь и частные производные

[number_one]

1) Найти площадь фигуры в полярной системе координат, если фигура ограничена $x^2+y^2=4x$

$y\geqslant 0$

$x\geqslant y$

2) Найти $z'_u,\;\;\;\;z'_v$, если $z=\frac{y}{x}$

$x=\tg(u+v)$

$y=\ctg(2u-v)$


1) Первое пытался сделать так

(x-2)^2+y^2=2^2 (*)

x=2+r\cos\phi

y=r\cos\phi

Подставляя в (*), имеем r=2

А площадь можно Найти так? S=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\rho^2 d\phi

По-моему эту окружность можно задать еще так \rho=4\cos\phi. Но как задать прямую тогда?

Я понимаю как искать в декартовой системе координат площадь, а тут - ступор. Если правильно понял, то нужна оранжевая площадь. (немного кривой рисунок, так как точка пересечения прямой и окружности (2,2))



2) Можно ли здесь воспользоваться формулами

$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$

$\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}$

[ex-math]

number_one в сообщении #583918 писал(а):

По-моему эту окружность можно задать еще так \rho=4\cos\phi. Но как задать прямую тогда?

А Вы интегрируйте от нуля до $\frac\pi4$ и все.

[number_one]

ex-math в сообщении #583927 писал(а):

number_one в сообщении #583918 писал(а):

По-моему эту окружность можно задать еще так \rho=4\cos\phi. Но как задать прямую тогда?

А Вы интегрируйте от нуля до $\frac\pi4$ и все.

Спасибо! А тогда будет все верно? (точно ведь, прямая $y=x$ наклонена именно под углом $\frac\pi4$)

А как можно было прийти к тому, что \rho=4\cos\phi? Можно ли это получить из уравнений? Просто я почти наугад сделал это, подставив при нулевом угле точку, при угле $\frac\pi2$ и при угле $\frac\pi4$. Как можно честно догадаться до этого?

Во второй задаче было верно предположение?

[ex-math]

Можно подставить в уравнение окружности $x=r\cos\varphi$ и $y=r\sin\varphi$, а потом сократить на $r$.
Кстати, ответ должен быть (из геометрических соображений) $\pi+2$.

С производными по-другому вроде и не сделать.