Подгруппы поля

[Unconnected]

Теорема: конечные подгруппы мультипликативной группы поля - циклические.
В конспекте непонятно: берется подгруппа $G, |G|=n$, и рассматриваются всякие $M_d=\left \{x|ord(x)=d \right \}$, если $M_d \neq \oslash \to d|n$. Потом пишут, что $M_d$ принадлежит группе, образованной любым элементом$ M_d$ (т.к. есть единственная подгруппа порядка $d$). Мы это доказывали, но для подгрупп циклической группы! И дальше тоже всё непонятно. Как примерно может выглядеть окончание доказательства?

http://s019.radikal.ru/i600/1206/3d/730debda80f7.jpg вот оригинал(теорема 7).

[AV_77]

Пусть $|G| = n = p_1^{m_1} p_2^{m_2} \ldots p_k^{m_k}$, $p_i$ - различные простые числа. Сначала докажите, что для любого $i$ найдется элемент порядка $p_i^{m_i}$. А потом из этих элементов постройте элемент порядка $n$.

[RIP]

Группа $H$ имеет порядок $d$, и все её элементы являются корнями многочлена $x^d-1$. Но количество корней многочлена в поле не может превосходить его степень, поэтому $H$ — это в точности все корни этого многочлена. Поэтому $M_d\subset H$. Количество элементов порядка $d$ в циклической группе порядка $d$ равно $\varphi(d)$, следовательно, $|M_d|=\varphi(d)$, если $M_d\ne\varnothing$. Далее смотрим на равенство $n=|G|=\sum_{d|n}|M_d|$. Каждое слагаемое равно $0$ или $\varphi(d)$. Но никакое слагаемое не может быть нулевым, т.к. иначе сумма была бы меньше $\sum_{d|n}\varphi(d)=n$.

[Unconnected]

А-а-а.. всё, понял. Меня почему-то клинило, будто $\sum_{d|n}\varphi(d)=n$ выполняется только в циклической группе (хотя группа вообще не фигурирует тут)). Спасибо!