Мат. ожидание и дисперсия оценок вариационного ряда

[Bonzo]

Пусть $x_{(1)}, ..., x_{(n)}$ - вариационный ряд, построенный по выборке $x_1, ..., x_n$, где $x_k$ независимы и имеют равномерное распределение на отрезке $[a,b]$. Найти математическое ожидание и дисперсию оценок $\hat{\theta_1}=\frac{x_1+...+x_n}{n}, \hat{\theta_2}=\frac{x_{(1)}+x{(n)}}{2}$.

Подскажите куда копать.

[мат-ламер]

Bonzo в сообщении #569721 писал(а):

Подскажите куда копать

Только если куда копать. Насчёт первой оценки. Воспользуйтесь элементарными свойствами матожидания и дисперсии (типа линейности). Насчёт второй оценки. Возможно тут учебник лучше посмотреть по теме "Порядковые статистики". Матожидание ввиду симметрии очевидно находится. А вот с дисперсией попробуйте сами сначала повозиться. Может специалисты идею подскажут.

[--mS--]

Брать лопату и искать функцию распределения, плотность и моменты минимума и максимума, больше тут ничего не посоветуешь.

[ewert]

--mS-- в сообщении #569760 писал(а):

искать функцию распределения, плотность и моменты минимума и максимума,

На всякий случай уточню: только не по отдельности, а совместную функцию распределения. Её нахождение сводится просто к схеме Бернулли, ну а там уж пошло-поехало.

[--mS--]

Вначале именно по-отдельности. Судя по вопросу, до совместной ф.р. тут как до Китая пешком.

[ewert]

--mS-- в сообщении #569873 писал(а):

до совместной ф.р. тут как до Китая пешком.

ну не знаю, что Вы имели в виду; но и без неё ж никак. Ведь минимум с максимумом не независимы.

[--mS--]

ewert в сообщении #569875 писал(а):

ну не знаю, что Вы имели в виду; но и без неё ж никак. Ведь минимум с максимумом не независимы.

Только одно: что для начала ТС должен научиться делать малое.

[moscow5]

Вообщем решил задачку, но не верно нашел дисперсию первой оценки и мат.ожидание от второй получилось отрицательным. Подскажите как дальше.
{\bf Ðåøåíèå.}
Найдем мат.ожидание и дисперсию первой оценки:

$$ M\hat{\theta_1}=M(\frac{x_1+...+x_n}{n})=M(\frac{x_1}{n})+M(\frac{x_2}{n})+...+M(\frac{x_n}{n})=\frac{1}{n}(M(x_1)+M(x_2)+...+M({x_n}) $$

$$ =\frac{1}{n} \int\limits_{a}^b \frac{x}{b-a} dx = \frac{a+b}{2n} $$

$$ D\hat{\theta_1}=\frac{1}{b-a} \int\limits_{a}^b(\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}-\frac{a+b}{2n})^2 dx=(a+b)^2(\frac{n}{3}(b-a)+\frac{1}{4}(b-a)+\frac{n}{2}(a-b)) $$

Найдем мат.ожидание и дисперсию $\theta_2$

$$ M\hat{\theta_2}=M(\frac{x_(1)+x_(n)}{2}=\frac{1}{2}(M_{min(x_i)}+M_{max(x_i)}) $$

Найдем функцию и плотность распределения

$$ F_{max(x_i)}=p(max_(x_i)<t)=\prod_{i=1}^n p(x_i<t)=(\int_{a}^t \frac{1}{b-a}dt)^n=(\frac{t-a}{b-a})^n $$

$$ p_{max(x_i)}=F_{max(x_i)}=n(\frac{t-a}{b-a})^{n-1} $$

$$ M_{max(x_i)}=n\int\limits_{a}^b t(\frac{t-a}{b-a})^{n-1} dt $$

$$ F_{min(x_i)}=p(min_(x_i)>g)=\prod_{i=1}^n p(x_i>g)=(\int_{g}^b \frac{1}{b-a}dg)^n=(\frac{b-g}{b-a})^n $$

$$ p_{min(x_i)}=F_{min(x_i)}=-n(\frac{b-g}{b-a})^{n-1} $$

$$ M_{min(x_i)}=-n\int\limits_{a}^b g(\frac{b-g}{b-a})^{n-1} dg $$

$$ M\hat{\theta_2}=\frac{1}{2}(M_{min(x_i)}+M_{max(x_i)})=\frac{n}{2}(\int\limits_{a}^b t(\frac{t-a}{b-a})^{n-1} dt-\int\limits_{a}^b g(\frac{b-g}{b-a})^{n-1} dg)=(a-b)^2\frac{1-n}{1+n} $$

$$ D\hat{\theta_2}=M(\hat{\theta_2})^2-(M\hat\theta_2)^2= $$

$$=\frac{n}{2}(\int\limits_{a}^b t^2(\frac{t-a}{b-a})^{n-1} dt-\int\limits_{a}^b g^2(\frac{b-g}{b-a})^{n-1} dg)-\frac{n}{2}(\int\limits_{a}^b t(\frac{t-a}{b-a})^{n-1} dt-\int\limits_{a}^b g(\frac{b-g}{b-a})^{n-1} dg)^2= $$

$$ =\frac{(n-1)(a-b)^2}{n+1}(\frac{(1-n)(a-b)^2}{n+1}-\frac{a+b}{n}) $$

[--mS--]

moscow5 в сообщении #581366 писал(а):

$$ M\hat{\theta_1}=M(\frac{x_1+...+x_n}{n})=M(\frac{x_1}{n})+M(\frac{x_2}{n})+...+M(\frac{x_n}{n})=\frac{1}{n}(M(x_1)+M(x_2)+...+M({x_n})) $$

$$ =\frac{1}{n} \int\limits_{a}^b \frac{x}{b-a} dx = \frac{a+b}{2n} $$

$a+a+a=a$ или $3a$?

moscow5 в сообщении #581366 писал(а):

$$ D\hat{\theta_1}=\frac{1}{b-a} \int\limits_{a}^b(\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}-\frac{a+b}{2n})^2 dx=(a+b)^2(\frac{n}{3}(b-a)+\frac{1}{4}(b-a)+\frac{n}{2}(a-b)) $$

Тут просто что-то непонятное. Кто такие $x_i$ под интегралом? И, главное, куда они делись потом? Да ещё и зависимость и от $a$, и от $b$, и при том кубическая... Как же с размерностями-то быть??? То же самое ниже у матожидания второй оценки.

А для вычисления дисперсии оценки делаем то, что советовали, а не что хочется:

мат-ламер в сообщении #569741 писал(а):

Насчёт первой оценки. Воспользуйтесь элементарными свойствами матожидания и дисперсии (типа линейности).

moscow5 в сообщении #581366 писал(а):

$$ p_{\max(x_i)}=F_{\max(x_i)}=n(\frac{t-a}{b-a})^{n-1} $$

Производная (если это она) вычислена неверно.

moscow5 в сообщении #581366 писал(а):

$$ F_{\min(x_i)}=p(\min(x_i)>g)=\prod_{i=1}^n p(x_i>g)=(\int_{g}^b \frac{1}{b-a}dg)^n=(\frac{b-g}{b-a})^n $$

Напишите у всех функций аргументы, потом найдите и правильно запишите определение функции распределения.

Насчёт "как дальше" совет уже был: найти совместную функцию распределения минимума и максимума.

[moscow5]

Значит так.
Найдем мат.ожидание и дисперсию первой оценки::

$$ M\hat{\theta_1}=M(\frac{x_1+...+x_n}{n})=M(\frac{x_1}{n})+M(\frac{x_2}{n})+...+M(\frac{x_n}{n})=\frac{1}{n}(M(x_1)+M(x_2)+...+M({x_n}) $$

$$ =\int\limits_{a}^b \frac{x}{b-a} dx = \frac{a+b}{2} $$

$$ D\hat{\theta_1}=\frac{1}{n^2} n \frac{(b-a)^2}{12}=\frac{(b-a)^2}{12n} $$

Найдем мат.ожидание и дисперсию $\theta_2$

$$ M\hat{\theta_2}=M(\frac{x_(1)+x_(n)}{2}=\frac{1}{2}(M_{min(x_i)}+M_{max(x_i)}) $$

Найдем функцию и плотность распределения минимума и максимума

$$ F_{max(x_i)}=p(max_(x_i)<t)=\prod_{i=1}^n p(x_i<t)=(\int_{a}^t \frac{1}{b-a}dt)^n=(\frac{t-a}{b-a})^n $$

$$ p_{max(x_i)}=F\prime_{max(x_i)}=n\frac{(t-a)^{n-1}}{(b-a)^n} $$

$$ F_{min(x_i)}=p(min_(x_i)<t)=1-(1-\frac{t-a}{b-a})^n=1-(\frac{b-t}{b-a})^n $$

$$ p_{min(x_i)}=F\prime_{min(x_i)}=n\frac{(b-t)^{n-1}}{(b-a)^n} $$

Собственно дальше находим совместную плотность по формуле $\int_{a}^b\int_{a}^b p_{min} p_{max} dtdt$.
Далее находим из плотности функцию(интегрируем плотность по t или x?). И наконец находим мат.ожидание.(берем интеграл от произведения плотности и x). Все верно?

[--mS--]

До этого места всё верно, очень хорошо.
Матожидание минимума, видимо, тоже сосчиталось? А где матожидание оценки $\hat\theta_2$? Вы свойства матожидания изучили, нет? Для вычисления матожидания суммы не нужно знать совместного распределения. Для чего оно Вам будет необходимо?

moscow5 в сообщении #583686 писал(а):

Собственно дальше находим совместную плотность по формуле $\int_{a}^b\int_{a}^b p_{\min} p_{\max} dtdt$.

Из этой бессмысленной формулы найти можно разве что единицу. Плотность совместного распределения есть смешанная производная функции распределения вектора $(\min(X_i),\,\max(X_i))$ (или функции совместного распределения двух этих величин). Вот эту функцию распределения и нужно искать. Что такое функция совместного распределения двух величин, знаете? Запишите её определение и выразите её через вероятность $\mathsf P(\min(X_i)\geqslant x, \,\max(X_i) < y)$, которая легко находится. Потом по функции распределения найдёте плотность совместного распределения.

moscow5 в сообщении #583686 писал(а):

Далее находим из плотности функцию(интегрируем плотность по t или x?). И наконец находим мат.ожидание.(берем интеграл от произведения плотности и x). Все верно?

Нет, эти фразы - полная бессмыслица. Какую функцию Вы хотите находить из плотности? При чём тут матожидание?

[moscow5]

Находим мат.ожидание максимума и минимума.

$$ M_{max(x_i)}=n\int\limits_{a}^b t\frac{(t-a)^{n-1}}{(b-a)^n} dt=\frac{a+bn}{n+1} $$

$$ M_{min(x_i)}=n\int\limits_{a}^b t\frac{(b-t)^{n-1}}{(b-a)^n} dt=\frac{an+b}{n+1} $$

Мат. ожидание второй оценки:

$$ M\hat{\theta_2}=\frac{1}{2}(M_{min(x_i)}+M_{max(x_i)})=\frac{1}{2}(a+b) $$

А дальше находим дисперсию по формуле:

$$ D\hat{\theta_2}=M(\hat{\theta_2})^2-(M\hat\theta_2)^2 $$

И чтобы найти матожидание от квардрата, нам необходимо знать плотность, а следовательно и функцию совместного распределения.
По определению функция совместного распределения это

$$ F_{min(x_i),max(x_i)}(t)=P(min(x_i)<t,max(x_i)<t)$$

А как это выразить через вероятность указанную вами, я не имею понятия.

[moscow5]

Очень прошу помочь, ибо завтра последний срок сдачи.

[moscow5]

Тему можно закрывать. Всем спасибо!

[--mS--]

moscow5 в сообщении #583893 писал(а):

По определению функция совместного распределения это

$$ F_{min(x_i),max(x_i)}(t)=P(min(x_i)<t,max(x_i)<t)$$

А как это выразить через вероятность указанную вами, я не имею понятия.

Нет, по определению функция совместного распределения - это совсем не это.