Вопрос про молекулы азота при температуре

[Unior]

Здравствуйте.
Помогите пожалкйста решить проблему и разобраться в ней. Премного благодарен!
Вот её условие.
Найти среднюю скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднюю полную кинетическую энергию молекул азота при температуре $37^\circ$.

[Omega]

Кажется так:
Средняя скорость:

$$\overline{v}=\int\limits_{0}^{\infty}v f(v) dv=\sqrt{\frac{8 R T}{\pi M}}$$

Средняя кинетическая энергия поступательного движения:

$$\overline{E}=\frac{m_{0} \overline{v^{2}}}{2};\overline{v^{2}}=\int\limits_{0}^{\infty}v^{2} f(v) dv=\sqrt{\frac{3 R T}{ M}}$$

Средняя полная кинетическая энергия молекулы:

$$E=\frac{5kT}{2}$$

$f(v)$ - функция распределения Максвелла молекул по скоростям

[Unior]

Omega
Откуда Вы взяли эти формулы?

[Omega]

Откуда?Почти всё есть в термодинамике за 10 класс, а так наберите "Распределение Максвелла";"МКТ" в Википедии.

[Unior]

Omega

Как я правильно Вас понял, эта задача на распределение Максвелла?

[Alexandr007]

Omega
У Вас в выражении кинетической энергии поступательного движения ошибка, должно быть $E=\frac{3kT}{2}$

[Unior]

Alexandr007
А почему там так должно быть?
Из каких мыслей это так?

[Ms-dos4]

Alexandr007

Цитата:

У Вас в выражении кинетической энергии поступательного движения ошибка

Там ошибки нет. Если вы подставите предлагаемую среднеквадратичную скорость в формулу, и учёте, что $\[\frac{{{m_0}}}{M} = \frac{1}{{{N_A}}}\]$, то получите искомое выражение. Но, конечно, не было смысла так вычислять, т.к. средняя кинетическая энергия поступательного движения всегда равна $\[\frac{3}{2}kT\]$, а полная кин.энергия $\[\frac{i}{2}kT\]$

[Omega]

Азот - двухатомный газ,следовательно количество степеней свободы молекул азота равно пяти, поэтому для ПОЛНОЙ энергии одной молекулы имеем: $E=\frac{ikT}{2}=\frac{5kT}{2}$
А $\overline{E}$ всегда равно $\frac{3 kT}{2}$ потому, что для поступательного движения $i=3.$
Unior, распределение Максвелла позволяет найти величину средней, среднеквадратичной и наиболее вероятной скоростей.

[Unior]

Omega
А откуда там 8 и Пи?
Это откуда получилось?

[Omega]

Я уже писал:

$$\overline{v}=\int \limits_{0}^{\infty}v f(v)dv=\int\limits_{0}^{\infty}4 \pi v^3 \left \Big( \frac {m_{0}} {2 \pi kT} \right \Big) ^ {3/2} e^{ \left (\frac {-m_{0}v^2} {2kT} \right)}dv=\sqrt{\frac{8 k T}{\pi m_{0}}}=\sqrt{\frac{8 R T}{\pi M}}$$

[Unior]

Omega
Откуда всё это берётся, начиная с самого начала?
А откуда взялись пределы бесконечность и ноль и в формуле $4 \pi v^3 \left \Big( \frac {m_{0}} {2 \pi kT} \right \Big) ^ {3/2} e^{(\frac {-m_{0}v^2} {2kT})}$?

[Omega]

Ладно попробую попроще:
Пусть $\Delta N_{1}$ молекул имеют скорости $v_{1}$, а $\Delta N_{2}$ молкул - $v_{2}$ и т.д. Тогда средняя скорость будет равна:

$$\overline{v}=\frac{\Delta N_{1} v_{1}+\Delta N_{2} v_{2}+...+\Delta N_{n} v_{n}}{\Delta N_{1}+\Delta N_{2}+...+\Delta N_{n}}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n v_{i} \Delta N_{i}}{N}$$

Переходя к пределу получаем:

$$\overline{v}=\frac{1}{N} \cdot \int \limits_{0}^{\infty}v dN$$

Плотность точек как отношение числа точек $dN$, лежащих в интервале $dv$, к велечине этого интервала есть $\rho=\dfrac{dN}{dv}$.Отношение $\rho(v)$ к общему числу молекул $N$
и есть так называемая функция распределения $f(v)=\dfrac{\rho(v)}{N}=\dfrac{1}{N} \cdot \dfrac{dN}{dv} \Rightarrow dN=N f(v) dv$. Подставляя это в $\overline{v}$ получаем:

$$\overline{v}=\frac{1}{N} \cdot \int \limits_{0}^{\infty}v N f(v) dv=\int \limits_{0}^{\infty}v f(v) dv$$

Вот и всё.

[Unior]

Omega
А откуда взялись в формуле $4 \pi v^3 \left \Big( \frac {m_{0}} {2 \pi kT} \right \Big) ^ {3/2} e^{(\frac {-m_{0}v^2} {2kT})}$?[/quote]

[Alexandr007]

Unior в сообщении #583785 писал(а):

А откуда взялись в формуле

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0% ... 0%BB%D0%B0