Изоморфность колец функций

[apriv]

xmaister в сообщении #583061 писал(а):

А вообще, в какой литературе можно было бы ознакомится с кольцами непрерывных функций? Интересно, какие топологические свойства пространств $X$ и $Y$ сохраняются, если $C(X)\cong C(Y)$?

Если кольца функций двух хороших многообразий изоморфны, то эти многообразия диффеоморфны, и изоморфизм колец функций задается композицией с этим диффеоморфизмом. Это явление называется двойственностью и верно во многих других ситуациях: для булевых алгебр (двойственность Стоуна), для аффинных алгебраических многообразий и схем, для локалей и фреймов, и т. д. «Хорошие» многообразия можно брать разные, например, Гельфанд и Колмогоров доказали это для бикомпактных, кажется, топологических пространств. Думаю, это верно для гладких хаусдорфовых многообразий.

[Профессор Снэйп]

apriv в сообщении #583105 писал(а):

Если кольца функций двух хороших многообразий изоморфны, то эти многообразия диффеоморфны, и изоморфизм колец функций задается композицией с этим диффеоморфизмом.

Боюсь, Вы пользуетесь немного не тем определением кольца $C^\infty(G)$, которое предложил топикстартер.

[apriv]

Профессор Снэйп в сообщении #583141 писал(а):

apriv в сообщении #583105 писал(а):

Если кольца функций двух хороших многообразий изоморфны, то эти многообразия диффеоморфны, и изоморфизм колец функций задается композицией с этим диффеоморфизмом.

Боюсь, Вы пользуетесь немного не тем определением кольца $C^\infty(G)$, которое предложил топикстартер.

Я пользуюсь стандартным определением; конечно, это напрямую не отвечает на вопрос про неизоморфность колец функций на $\mathbb R$ и на графике $y=|x|$ (тут все проще), но вроде бы понятно, что для бесконечно дифференцируемой функции $f$ кольца $C^\infty(\Gamma(f))$ и $C^\infty(\mathbb R)$ изоморфны.

[Профессор Снэйп]

Я не знаю, какое там стандартное, но ТС явно выписал своё определение. И мне кажется, оно отличается от того, которым пользуетесь Вы.

[apriv]

Профессор Снэйп в сообщении #583150 писал(а):

Я не знаю, какое там стандартное, но ТС явно выписал своё определение. И мне кажется, оно отличается от того, которым пользуетесь Вы.

Для графика бесконечно дифференцируемой функции не отличается.

[xmaister]

Профессор Снэйп в сообщении #583069 писал(а):

Что означают и во второй лемме?

Это те $\varphi_1$ и $\varphi_2$, которые были определены изначально.

apriv в сообщении #583105 писал(а):

Если кольца функций двух хороших многообразий изоморфны, то эти многообразия диффеоморфны, и изоморфизм колец функций задается композицией с этим диффеоморфизмом.

Я не знаком с понятием многообразия. А как определить дифференцируемуе отображение на этом самом многообразии?

apriv в сообщении #583145 писал(а):

но вроде бы понятно, что для бесконечно дифференцируемой функции кольца и изоморфны.

Это как?

[apriv]

xmaister в сообщении #583168 писал(а):

Я не знаком с понятием многообразия. А как определить дифференцируемуе отображение на этом самом многообразии?

Пучок колец дифференцируемых функций является частью структуры многообразия; задать многообразие и значит (по определению) задать топологическое пространство вместе с подпучком пучка непрерывных функций на нем, который локально изоморфен пучку (бесконечно) дифференцируемых функций на $\mathbb R^n$. В случае графика $G$ функции $f$ можно в качестве этого пучка взять ограничения функций со всей плоскости на $G$ (то есть, обратный образ пучка дифференцируемых функций относительно вложения $G\to\mathbb R^2$), и показать, что этот пучок удовлетворяет условию из определения многообразия.

[xmaister]

apriv
Я не совсем понял, точнее совсем не понял. Как указать такой подпучок чтобы, например, $\mathbb{R}P^n$ превратилось в многообразие?

[apriv]

xmaister в сообщении #583339 писал(а):

apriv
Я не совсем понял, точнее совсем не понял. Как указать такой подпучок чтобы, например, $\mathbb{R}P^n$ превратилось в многообразие?

Например, рассмотреть $n$-мерную сферу и взять гладкие функции $f$, для которых $f(x)=f(-x)$ для всех точек $x$ сферы. После факторизации сферы по действию группы $\mathbb Z/2\mathbb Z$ получаем пучок гладких функций на факторе. Нетрудно понять, что у каждой точки есть окрестность (например, полушарие) такая, что ограничение пучка на нее изоморфно пучку функций на $\mathbb R^n$.

[FFFF]

apriv
А какую литературу Вы посоветуете, где можно узнать побольше про такую двойственность? Читал Неструева, у него идея двойственности категории многообразий с диффеоморфизмами и категории гладких алгебр с изоморфизмами является основной (многобразие - простой спектр алгебры). Думал, что это его идея.

[apriv]

FFFF в сообщении #583468 писал(а):

apriv
А какую литературу Вы посоветуете, где можно узнать побольше про такую двойственность? Читал Неструева, у него идея двойственности категории многообразий с диффеоморфизмами и категории гладких алгебр с изоморфизмами является основной (многобразие - простой спектр алгебры). Думал, что это его идея.

Нет, это идея Стоуна для булевых алгебр, Гельфанда—Наймарка для топологических пространств и Зариского—Серра—Гротендика для алгебраических многообразий и схем. Думаю, что принципиально двойственность для гладких многообразий не отличается от двойственности Гельфанда. Подробнее об этом написано, например, в книге Juan A. Navarro González и Juan B. Sancho de Salas «$C^\infty$-Differentiable Spaces».