2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Некорректно поставленная задача + sparse solutions
Сообщение11.06.2012, 15:37 


19/07/11
23
Здравствуйте.

Имеется практическая задача, описываемая системой
\begin{equation}
\label{eq1}
Y = \textbf{A} X	
\end{equation}

где требуются определить неизвестную матрицу $X\in \mathbb{C}^{N\times P}$. Известны матрица измерений $Y\in \mathbb{C}^{M\times P}$ и матрица измерительной системы $\textbf{A} \in \mathbb{C}^{M\times N}$, $M < N$. Матрица $\textbf{A}$ образована из матрицы дискретного преобразования Фурье путем выбора случайных $M$ строк из $N$ возможных. Система (1) называется multiple-measurement vectors system, так как каждому из исходных стоблцов матрицы $X$ соответствует столбец измерений из матрицы $Y$.

Искомая матрица $X$ может иметь две структуры:

Структура 1
Полностью ненулевые и полностью нулевые строки
\label{str1}
			X =
			\begin{pmatrix}
			x_{1,1} & x_{1,2} & \ldots & x_{1,L} \\
			0 & 0 & \ldots & 0\\
			0 & 0 & \ldots & 0\\
			x_{2,1} & x_{2,2} & \ldots & x_{2,L} \\
			0 & 0 & \ldots & 0\\
			\vdots  & \vdots   & \vdots & \vdots \\
			x_{k,1} & x_{k,2} & \ldots & x_{k,L} \\
			0 & 0 & \ldots & 0\\
			\end{pmatrix}
где число ненулевых строк матрицы $X$ обозначим через $k$. Положение ненулевых строк заранее не известно.

Существуют практические алгоритмы нахождения решений данной системы при условии , что $M> 2\cdot k$, т.е. число измерений должно превышать число ненулевых строк минимум в 2 раза. Примерами таких алгоритмов являются: Orthogonal Matching Pursuit , MUltiple Signal Classification, Basis Pursuit Denoising и тд.

Структура 2
Частично ненулевые и частично нулевые строки, при сохранении общего числа ненулевых элементов матрицы $X$

\label{str2}
			X =
			\begin{pmatrix}
			0 & x_{1,1}& x_{1,2} & \ldots & x_{1,L-1} \\
			x_{1,L} & 0& 0 & \ldots & 0\\
			0 & 0 &0 & \ldots & 0\\
			0 & 0 & x_{2,1}& \ldots & x_{2,L-2} \\
			x_{2,L-1} & x_{2,L}& 0 & \ldots & 0\\
			\vdots  & \vdots & \vdots   & \vdots & \vdots \\
			0 & x_{k,1}& x_{k,2} & \ldots & x_{k,L-1} \\
			x_{k,L} & 0& 0 & \ldots & 0\\
			\end{pmatrix}
ненулевые строки матрицы $X$ из предыдущей структуры как бы сдвигаются и накладываются на следующие строки (шаг сдвига для каждой ненулевой строки может быть произвольным). В этом случае, число ненулевых строк становится равным $2k$. Положение ненулевых строк заранее не известно. По аналогии с первой структурой $X$, существующие алгоритмы позволяют находить решение \eqref{mainMMV} при $M > 2\cdot 2k$, т.е. число необходимых измерений увеличивается вдвое, при сохранении общего числа ненулевых элементов $X$. Это представляется неоптимальным.

Вопрос: Как сделать так, чтобы решения структуры 2 можно было бы найти при тех же условиях, что и структуры 1, то есть при том же $M$. Понятно, что надо что-то поменять в алгоритмах решений, только я вот не совсем понимаю что. Может регуляризацию какую надо применить, чтобы "связать" соседние строки, но в голову ничего не приходит.

Заранее благодарю за помощь

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректно поставленная задача + sparse solutions
Сообщение16.06.2012, 00:26 


19/07/11
23
Ну же, господа математики, помогите справиться с задачей!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Shadow


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group