Канторова лестница

[о_дальних_огнях_маяков]

Канторова лестница. даём конструктивное определение. можно, наверное, в две строчки доказать непрерывность? а вот у меня не получается. рассуждаю так:

непрерывна на нашем конечном отрезке [0,1], если\forall\varepsilon>0, \exist\delta>0 такое, что для любого конечного набора непересекающихся интервалов \left(x_i,y_i\right)области определения функции , который удовлетворяет условию \sum\left(y_i-x_i\right)<\delta, выполнено \sum\left|f\left(y_i\right)-f\left(x_i\right)\right|<\varepsilon
потом \forall\varepsilon>0\ \exist\delta>0:\forall x_1,x_2\in D $ (D-метрич.пр-во) $\quad (|x_1-x_2|<\delta)\Rightarrow(|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon)

для неё всё это неверно. учиться только начинаю. а матан мне светит:)
и ещё вопрос. вне теории приближений модулями непрерывности что можно описать?
т.е. с чем аналогию провести можно в др. областях?

[Dan_Te]

Что-то вы странное написали. У вас два определения:
1) $\forall n, \forall x_i,y_i, i=1\ldots n \,\mbox{ для которых }\, \sum |y_i-x_i|<\delta,$ верно $\sum|f(y_i)-f(x_i)|<\varepsilon$
2) $\forall x,y\,\mbox{ для которых }\,|y-x|<\delta,$ верно $|f(y)-f(x)|<\varepsilon$
Второе свойство - это как раз непрерывность. А вот первое (очевидно, более сильное) - это ограниченная вариация. И канторова лестница этим свойством не обладает.

[Brukvalub]

Dan_Te писал(а):

Что-то вы странное написали. У вас два определения:
1) $\forall n, \forall x_i,y_i, i=1\ldots n \,\mbox{ для которых }\, \sum |y_i-x_i|<\delta,$ верно $\sum|f(y_i)-f(x_i)|<\varepsilon$
2) $\forall x,y\,\mbox{ для которых }\,|y-x|<\delta,$ верно $|f(y)-f(x)|<\varepsilon$
Второе свойство - это как раз непрерывность. А вот первое (очевидно, более сильное) - это ограниченная вариация. И канторова лестница этим свойством не обладает.

А вот и нет, Канторова лестница , как и любая другая монотонная на отрезке функция, имеет на этом отрезке ограниченную вариацию. На самом деле, требуемое определением 1 свойство называется абсолютной непрерывностью, и вот им-то Канторова лестница действительно не обладает.

[Dan_Te]

Ой Ужас какой. Конечно, вы правы.

[о_дальних_огнях_маяков]

2 Dan_Te

Цитата:

У вас два определения

Вы правильно поняли. Сначала была попытка рассуждать, используя одно, не получилось, "потом" - используя второе, и оно мне ничего не дало.

2 Brukvalub

Цитата:

как и любая другая монотонная на отрезке функция, имеет на этом отрезке ограниченную вариацию.

спасибо.
просто тяжело было перейти к обобщению понятия длины кривой, задаваемой функцией. понимаете, трудность была, когда определяешь её через описание, как её руками делать, доказать потом, что можно использовать понятие вариации. матан у меня дикорастущий. нам читают рецепты: видишь то, делай это. доказывать самому не приходилось ничего.


объяснюсь.:)
на мехмате идёт олимпиада, я не с мехмата (вне конкуренции:j , т.е.
им это засчитывается при распределении на кафедры, видимо, а я им в этом не помешаю)

к одной из задач придумала функцию,
которая хорошо всё объясняет. запнулась на док-ве непрерывности,
спросила - и оказалось, что изобрела очередной велик на двух колёсах, что это канторова лестница.

во вторник понесу задачи - дедлайн. буду проситься, чтобы меня пустили писать вместе с ними второй тур.
для этого домашние задачи должны быть решены на мехматянском уровнем строгости,
а я учиться только начинаю.:)