Производная. 2 вопроса

[number_one]

1) Почему это неверно?

$\frac{xy^2-4x}{3y}=6x$

$xy^2-4x=18xy$

$y^2+2xyy'-4=18y+18xy'$

$(2xy-18x)y'=18y+4-y^2$

$y'=\frac{18y+4-y^2}{2xy-18x}$


2) Почему это неверно?

$(\ln(\lg(2x)))'=\frac1{x\ln(2x)}=\frac{\ln10}{x\lg(2x)}$

[Praded]

2)
$u=\lg 2x$
$(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$
$u'=(\lg 2x)'=\dfrac{1}{x\ln 10}$

[number_one]

Praded в сообщении #582854 писал(а):

2)
$u=\lg 2x$
$(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$
$u'=(\lg 2x)'=\dfrac{1}{x\ln 10}$

Спасибо! А что в первом неверно? С другой стороны $y'=0$

Там ведь можно сократить на икс, а потом считать производную и получается, что она равна нулю, но я не понимаю - почему этот способ неверен...

[number_one]

Второй способ решения первой задачи

$\frac{xy^2-4x}{3y}=6x$

$xy^2-4x=18xy$

$x(y^2-4-18y)=0$

$y^2-4-18y=0$

$2yy'-18y'=0$

$y'(2y-18)=0$

$y'=0$

Ответы не совпали

[Shtorm]

Для интереса построил в Advanced Grapher
$\frac{xy^2-4x}{3y}=6x$
и
$y^2-4-18y=0$

Графики не совпали. В первом случае получился типа крест, а во втором просто горизонтальная линия (ниже перекрестья первого). О чём это говорит? Уверен, что в данной функции нельзя сокращать на x.

[number_one]

Shtorm в сообщении #583193 писал(а):

Для интереса построил в Advanced Grapher
$\frac{xy^2-4x}{3y}=6x$
и
$y^2-4-18y=0$

Графики не совпали. В первом случае получился типа крест, а во втором просто горизонтальная линия (ниже перекрестья первого). О чём это говорит? Уверен, что в данной функции нельзя сокращать на x.

Спасибо. А можно ли домножать на знаменатель?

[Dragon27]

Там не просто крест, горизонтальных черты две штуки.
А первое же вроде правильно решено, или я ошибаюсь?

[Shtorm]

Dragon27 в сообщении #583273 писал(а):

Там не просто крест, горизонтальных черты две штуки.
А первое же вроде правильно решено, или я ошибаюсь?

Избавившись от знаменателя, он тем самым изменил область значений функции, да и сама функция "потекла" и изменилась.
Если брать производную как от дроби, то совсем другой ответ получится.

[Dragon27]

Да там не сильно-то уж потекло, а в демидовиче, по-моему, во многих случаях ответы от подобного решения и давались, так что зависит от того, что учебник считает правильным :)

[number_one]

оО Почему это зависит от учебника?) Как-то странно все это)

[Shtorm]

Dragon27 в сообщении #583323 писал(а):

Да там не сильно-то уж потекло, а в демидовиче, по-моему, во многих случаях ответы от подобного решения и давались, так что зависит от того, что учебник считает правильным :)

Не "сильно потекло"? Если брать производную от дроби, то в ответе получится

$y'=\frac {18y^3+4y+y^3}{xy^2+4x}$

Теперь сравните с тем, что получено в первом сообщении темы.

-- Пн июн 11, 2012 21:23:31 --

number_one в сообщении #583560 писал(а):

оО Почему это зависит от учебника?) Как-то странно все это)

Это всё борьба подходов и субъективных взглядов и недостатки методологии. Один из ярчайших примеров - это подход к методике построения графика функции в полярной системе координат. Вот уж действительно, где от учебника сильно зависит.

[Dragon27]

Shtorm в сообщении #583581 писал(а):

Если брать производную от дроби, то в ответе получится

Только там $18y^2$
Разницы особой не вижу, при тех же допустимых функцией значениях $x,y$ получится то же самое ($0$, там где производная есть).
И вы в процессе на $y^2$ домножили, тоже лишнее выползет?

[Shtorm]

Да, я ошибся. На самом деле

$y'=\frac {18y^2+4y-y^3}{xy^2+4x}=\frac {y(18y+4-y^2)}{x(y^2+4)}$

Ну и не поленился, подставил x=1 в исходную функцию и нашёл два корня:

$y_1=9+\sqrt {85}, y_2=9- \sqrt {85}$

Взял для дальнейшей проверки только первый корень, соответственно точку $(1; 9+\sqrt {85})$ и подставил в ответы.

[Dragon27]

там $-y^2$, а не $+y^2$

[Shtorm]

Dragon27 в сообщении #583631 писал(а):

там $-y^2$, а не $+y^2$

Ага, исправил. Беру свои слова обратно. Но поскольку нужно было найти производную не в точке, а просто аналитическое выражение, то видимо ответ автора забраковали.