Пожалуй, проще всего воспользоваться разложением функции в ряд Тэйлора в точке 0. За компанию, мы с Вами сможем получить кое-какие оценки на функцию через ее вещественную (мнимую) часть.
Чтобы было чуть проще, давайте рассмотрим функцию

. Тогда

и

в круге

. Кроме того, пока что будем предполагать, что наши функции голоморфны и в окрестности круга (ну чтобы не мучиться с обоснованиями законности выкладок на единичной окружности).
Пусть

1. Покажите, что на единичной окружности имеет место некое равенство (считаем, что

)

2. Используя это представление получите

как интеграл от вещественной части (ну все как в формуле Коши).
3. Аналогично этому, получите представление для

.
4. Скомбинируйте эти равенства, учитывая условие

, и тот факт, что

.
Таким образом Вы получите оценку сверху для

. Для доказательства того, что эта оценка точная надо будет предъявить соответствующую функцию. Легко сообразить, что вещественная часть этой функции обращается в 0 на единичной окружности. Осталось понять, во что переходит единичный круг под действием этой функции.