Ну, "нестрогая геометрическая интерпретация" проста. Правда, очень нестрогая, не для доказательства, а для создания "приятного чувства понимания".
Положим, что решением у нас является y(x). Чтобы, двигаясь по х шагами длиной h, перейти от одной точки графика y(x) к другой, надо идти по хорде, соединяющей y(x) и y(x+h). А не по касательной, которая от хорды отклоняется. Чтобы построить хорду в точности, надо уже знать y(x+h), чего нам недоступно. Но можно попытаться найти наклон, более близкий к наклону хорды, чем наклон касательной. Мы надеемся (повторяю, это не доказательство, это лишь иллюстрация), что поведение y(x) между точками x и x+h похоже на параболу, так что отклонения наклона касательных в точках x и x+h от наклона хорды имеют разный знак, а в середине, в точке x+h/2, наклон совпадает. Однако чтобы найти наклон касательной в "средней точке", нам надо знать значение y(x+h/2), то есть уже готовое решение, и приходится его заменять приближённой оценкой. Поэтому начинаем с шага, совпадающего с методом Эйлера (дающего первое слагаемое) , получаем грубую оценку для y(x+h/2) - второе слагаемое, третье слагаемое у нас это более точная оценка для того же (поскольку использует не касательную, а оценку наклона хорды), четвёртое оценка y(x+h), как надеемся - компенсирующее ошибку первого слагаемого, поскольку знак отклонения иной. Суммируем их с весами, которые получаются, если бы функция не зависела бы от y и задача свелась бы к вычислению интеграла по правилу Симпсона.
(Оффтоп)
Приношу извинения за крайнюю вульгаризацию, но хотя бы правило у меня не Гомера Симпсона...
