Рунге-Кутт 4-го порядка

[Rage2304]

Здравствуйте, требуется помощь... Не могли бы вы объяснить в чем заключается метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Больше интересует его геометрическая интерпретация... Как происходит аппроксимация касательными к графику... Самыми общими, словами - мне главное понять смысл... Вот в методе Эйлера как я понимаю, к графику функции в исходной точке(значение которой известно) проводится касательная... Соответственно из уравнения касательной мы можем по следующей точке x[i+1]=x[i]+h, найти приближенное значение y[i+1]... И я так понимаю погрешность будет нарастать с каждым последующим шагом... Объясните пожалуйста, за свет чего происходит уменьшение этой погрешности в методах Рунге более высоких порядков(в частности 4-го)... Еще раз повторюсь, что интересует геометрическая интерпретация, а не вывод с помощью разложения функции в ряд Тейлора... Любые советы и подсказки приветстуются...Просьба ответить оперативно=)

[Leu]

уменьшения погрешности происходит за счет итерационного приближения к точному решению

посмотрите в книге: Калиткин Н.Н. "Численные методы", рис. 42 и 43 - там показано, как наращивают точность при увеличении порядка в методе Рунге-Кутта

[ewert]

Rage2304 в сообщении #581706 писал(а):

Объясните пожалуйста, за свет чего происходит уменьшение этой погрешности в методах Рунге более высоких порядков(в частности 4-го)... Еще раз повторюсь, что интересует геометрическая интерпретация,

Никакой геометрической интерпретации там нет (тем более, что для каждого порядка, кроме первого, существует бесконечно много вариантов метода). Есть лишь соображение, которое для стандартного метода четвёртого порядка делает этот порядок по крайней мере правдоподобным: уж очень самая последняя строчка в этом методе напоминает формулу Симпсона.

[Евгений Машеров]

Ну, "нестрогая геометрическая интерпретация" проста. Правда, очень нестрогая, не для доказательства, а для создания "приятного чувства понимания".
Положим, что решением у нас является y(x). Чтобы, двигаясь по х шагами длиной h, перейти от одной точки графика y(x) к другой, надо идти по хорде, соединяющей y(x) и y(x+h). А не по касательной, которая от хорды отклоняется. Чтобы построить хорду в точности, надо уже знать y(x+h), чего нам недоступно. Но можно попытаться найти наклон, более близкий к наклону хорды, чем наклон касательной. Мы надеемся (повторяю, это не доказательство, это лишь иллюстрация), что поведение y(x) между точками x и x+h похоже на параболу, так что отклонения наклона касательных в точках x и x+h от наклона хорды имеют разный знак, а в середине, в точке x+h/2, наклон совпадает. Однако чтобы найти наклон касательной в "средней точке", нам надо знать значение y(x+h/2), то есть уже готовое решение, и приходится его заменять приближённой оценкой. Поэтому начинаем с шага, совпадающего с методом Эйлера (дающего первое слагаемое) , получаем грубую оценку для y(x+h/2) - второе слагаемое, третье слагаемое у нас это более точная оценка для того же (поскольку использует не касательную, а оценку наклона хорды), четвёртое оценка y(x+h), как надеемся - компенсирующее ошибку первого слагаемого, поскольку знак отклонения иной. Суммируем их с весами, которые получаются, если бы функция не зависела бы от y и задача свелась бы к вычислению интеграла по правилу Симпсона.

(Оффтоп)

Приношу извинения за крайнюю вульгаризацию, но хотя бы правило у меня не Гомера Симпсона...

[Евгений Машеров]

В виде иллюстрации. Берём y'=y, y(0)=1
Шаг совершенно нереалистический, но наглядный, h=1

Сиреневая $y=e^x$
Жёлтая и коричневая - касательные (Эйлер-вперёд и Эйлер-назад), первое и четвёртое слагаемое.
Фиолетовая - касательная посредине (второе и третье слагаемое, на данном масштабе неразличимы)
Голубая линия - хорда, синяя - усреднение с заданными весами четырёх слагаемых.

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #582150 писал(а):

Чтобы построить хорду в точности, надо уже знать y(x+h), чего нам недоступно. Но можно попытаться найти наклон, более близкий к наклону хорды, чем наклон касательной. Мы надеемся (повторяю, это не доказательство, это лишь иллюстрация), что поведение y(x) между точками x и x+h похоже на параболу,

Эти соображения вполне естественным путём приводят к какой-нибудь модификации метода Эйлера второго порядка (типа "предиктор-корректор"). И это будут, да, варианты метода Рунге-Кутта второго порядка. И, да, эти элементарные размахивания руками достаточно легко формализуются -- не намного сложнее, чем сам метод Эйлера. Но вот для более высоких степеней никакая геометрия, боюсь, уже не поможет, придётся попыхтеть и червей поскрещивать.

[Евгений Машеров]

Ну, а кто-то применяет выше 6-го порядка? И то, 6-й только потому, что он "без приложения рук" одновременно и 5-й порядок, и можно это использовать для контроля длины шага. А обычно не выше 4-го.

[Rage2304]

Разобрался) Всем спасибо огромное за помощь!!!