Интеграл от непрерывной функции 2

[neo66]

В продолжении темы, которая уже обсуждалась.

Задача №100.
Пусть $f(x), x\geqslant 0$ - непрерывная неотрицательная функция и пусть существует такое $a>0$, что для любого $x> 0$:
$f(x)\leqslant a\int_0^x f(t)dt$
Докажите, что $f(x)=0$ тождественно.

[Руст]

Если в некоторои интервале f(x) не превосходит M, то подставляя это в интеграл получаем: $f(x)\le M(ax)$, подставляя полученные неравенства вновь и вновь получим $f(x)\le M\frac{(ax)^n}{n!}, \ \forall n\in N.$ Так как слева функция стремится к нулю в любом конечном интервале, то $f(x)\equiv 0$.

[Юстас]

Пусть $g(x)=f(x)-a\int\limits_0^x f(y)dy\leq0$ для некоторого $a$. Тогда $\int\limits_0^t g(x)dx=(1-at)\int\limits_0^t f(x)dx +a\int\limits_0^t yf(y)dy \leq0 \ \forall t$. Отсюда следует, что при $t<\frac1a$ $f(x)\equiv0$, так как оба слагаемых в сумме при таких $t$ неотрицательны. Далее по аналогии рассматриваем $\int\limits_{\frac1a}^{t}g(x)dx$, получаем равенство 0 на $[\frac1a, \frac 2a]$ и так далее.

[neo66]

И еще одно решение до кучи.
Пусть $g(x)=\int_0^x f(t)dt$. Тогда $l(x)=\limits^{def}=g'(x)/g(x)=(\ln g(x))'$. Пусть $\exists {x_0}$ - нижняя граница множества $(x:g(x)>0)$. Тогда $\lim\limits_{x \to x_0, x>x_0} \ln(g(x)) = -\infty $. Поэтому $l(x)$ неограниченна, что противоречит предположениям задачи.