Записать ОДУ в подвижном базисе

[amaora]

Задача не учебная, просто стало интересно, а как решить не помню (или не знал).

Для примера есть следующая система ОДУ записанная в неподвижной системе координат.

$$ \left \{ \begin{aligned} {dI_x \over dt} &= {1 \over L}(U_x - I_xR - E_x) \\ {dI_y \over dt} &= {1 \over L}(U_y - I_yR - E_y) \end{aligned} $$

Переход в подвижную систему коодрдинат задается поворотом.

$$ \begin{aligned} d &= cos(\omega t) x - sin(\omega t) y \\ q &= sin(\omega t) x + cos(\omega t) y \end{aligned} $$

Ясно, что движение базиса будет вносить изменения в уравнения. То есть нельзя просто перепроецировать производные на новые оси координат. Где-то должны быть учтены производные последних двух равенств по $t$.

Но из чего исходя действовать дальше я пока понять не могу.

[amaora]

Если рассмотреть приращения вектора состояния динамичекой системы заданной теми ОДУ, можно понять, что вращение базиса можно заменить на вращение вектора состония в обратном направлении. То есть надо сделать переход в новый базис (перепроецирование векторов, простое линейное преобразование) и поворот. Для малого вращения ($cos(x) = 1$, $sin(x) = x$) получается следующее.

$$ \left \{ \begin{aligned} dI_d &= ({1 \over L} (U_d - I_dR - E_d) + \omega I_q) dt \\ dI_q &= ({1 \over L} (U_q - I_qR - E_q) - \omega I_d) dt \end{aligned} $$

и похоже это правильно, но разве нет более изящных/общих методов?