Сходимость ряда

[Atmaks]

Нужно узнать, сходится ли ряд

$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3,1}}{2^{\sqrt{n}} + n} $$

Вообще-то он не должен сходиться по условию задачи (нужно с помощью признака Лейбница показать, что знакопеременный ряд с таким общим членом сходится условно). Но численный эксперимент в Экселе показывает, что сумма сходится где-то к 300К. Каким признаком лучше воспользоваться?

[Sonic86]

Ряд сходится абсолютно. Проще всего, по-моему, предельным признаком сравнения - выделить самое быстрорастущее слагаемое и взять близкорастущее по скорости и задавить им остальное.

[Atmaks]

Ну, самое быстрорастущее слагаемое здесь это степень двойки. Не понял, что Вы имеете в виду.

[Sonic86]

Чему равен $\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{n^a}{2^{b\sqrt{n}}}, a,b>0$?

[Atmaks]

Sonic86 в сообщении #582849 писал(а):

Чему равен $\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{n^a}{2^{b\sqrt{n}}}, a,b>0$?

Нулю.

[ewert]

Atmaks в сообщении #582855 писал(а):

Нулю.

А теперь представьте общий член, например, как
$\dfrac{n^{3,1}}{2^{\sqrt{n}}}=\dfrac{n^{5,1}}{2^{\sqrt{n}}}\cdot\dfrac1{n^2}$

[Atmaks]

В общем члене еще $n$ в знаменателе. Погоды не делает, но есть.

[Atmaks]

А, понял. Получается, $\frac{n^{5,1}}{2^{\sqrt{n}}}$ стремится к нулю, поэтому $\frac{1}{n^2}$, начиная с некоторого номера, больше чем указанное произведение. Но ряд с таким общим членом сходится, стало быть, сходится и этот ряд.