Не понятна терминология в определениях.

[chzenchzen]

Пытаюсь сам изучить мат. анализ по-этому возникает куча проблем с пониманием определений, доказательств и прочего. Вот к примеру:

Пусть имеется функция $u=f(x,y,z)$ определенная в области $V$. Что значит "определенная в области"?

Это означает, что есть некая область $V$, которая подразумевает собой некоторое множество значений аргументов $x,y,z$, в которых функция принимает числовое значение? И если мы возмем значения аргументов лежащие за пределами этой области, то функция не сможет принять значения из-за кого-нибудь возникающего противоречия, например $y=\frac{1}{x}$, здесь $x\neq{0}$?

П.С.: У нас задана функция 3-х переменных, является ли слово "аргумент" синонимом слова "переменная"?
Если да, то это верно только в данном контексте или во всех возможных значениях?

[igor520]

"функция определенная в области" значит, что ее "можно вычислять" только в этой области...
к примеру, вот функция $Brrrrrrz(x)=x^2$ определенная на промежутке $0 < x < 3$
$Brrrrrrz(1)$ можно вычислить
$Brrrrrrz(e)$ можно вычислить
$Brrrrrrz(3)$ - нельзя так вообще писать, а тем более вычислять... потому что функция не определена для значения 3...
почему не определена? потому что она так определена... гы

[Asker Tasker]

В контексте функций аргумент, насколько я помню, синоним независимой переменной. Если говорить, например, о комплексных числах, то термин "аргумент" имеет уже совершенно другой смысл.

Вообще когда задаём функцию у нас есть независимые переменные, а есть зависимые. В Вашем примере u - зависимая переменная и зависит она от (независимых переменных) х, у, z.

Задать функцию означает указать:
1) множество определения (которому принадлежат независимые переменные - в данном случае можно трактовать независимые переменные как точку трёхмерного пространства и, соответственно, множество определения - это какое-то подмножество трёхмерного пространства);
2) правило, по которому каждому объекту из множества определения (иногда говорят "область определения", но это не совсем удачный термин) ставится в однозначное соответствие какой-то другой объект. Собственно, это правило мы обычно и называем "функцией".

Например, функция задана так: u = x^2 + y^2 + z^2, а (x;y;z) пробегает всё трёмхерное пространство. Тогда множество определения - всё трёхмерное пространство. независимая переменная функции - точка этого пространства (или можем сказать, что u - это функция трёх переменных, каждая из которых -действительное число, это оправдывает запись f(x;y;z), ведь могли бы писать, например, f(X), подразумевая, что Х - точка из R^3 (извините, что без TEXа пишу) и это были бы две равноправные записи).

Я могу сузить множество определения. Например, сказать, что u определена только на сфере x^2 + y^2 + z^2 = 10. И это означает, что мы рассматриваем данную функцию только в этих точках. В остальных никаких проблем, противоречий и чего-то ещё быть не обязано - просто мы там функцию не рассматриваем. Это как карта: мы можем рассматривать целый квартал, например, а можем одну улицу. Это не означает, что за пределами улицы больше ничего нет или что-то не так. Просто сейчас мы рассматриваем только её.

К вопросу об y = 1/x. Мы можем рассматривать эту функцию, например, на отрезке [0; 1], сказав, что y(0) - бесконечность.

[Munin]

chzenchzen в сообщении #582586 писал(а):

И если мы возмем значения аргументов лежащие за пределами этой области, то функция не сможет принять значения из-за кого-нибудь возникающего противоречия

Нет, просто функция не задана за пределами этой области.

Представьте себе табличный способ задания функции. Для каждого значения аргумента в таблице написано значение этой функции. Но если значения в таблице нет - считается, что и значения функции нет. Теперь представьте себе, что такая таблица имеет бесконечно много столбцов, то есть никто не мешает нам задать значение функции на бесконечном числе точек. Но при этом на любых точках, на которых мы не захотим задать функцию, мы можем её не задать. Вот такая воображаемая "бесконечная таблица" примерно соответствует математическому понятию функции.

[chzenchzen]

спс