Тридцатизначное число и делимость на 13

[Ktina]

Существует ли 30-значное число такое, что любое число, образованное пятью его подряд стоящими цифрами, делится на 13?

[venco]

Максимум - 25-ти значное.

[Ktina]

venco в сообщении #582435 писал(а):

Максимум - 25-ти значное.

Действительно, пусть первая (слева) цифра равна $a$, следующие 4 цифры образуют число $b$, а шестая цифра равна $c$. Тогда имеем

$$ \begin{cases} 13 | 10000a+b \\ 13 | 10b+c \end{cases} $$

Таким образом, если первая цифра равна 1, то шестая равна 4, 11-я равна 3, а 16-я - бяка.
Аналогично,

$$2\to 8\to 6\to\text{бяка}$$

А также

$$5\to 7\to 2\to 8\to 6\to\text{бяка}$$

Ну и

$$9\to\text{бяка}$$

Таким образом, если в числе 26 или более цифр, его не существует.
Осталось привести пример с 25-ю цифрами, но, по-моему, и тут проблема, так как первая ццифра обязана быть пятёркой, вторая - тоже, короче первые пять должны быть пятёрками, но этот зверь на 13 не делится.

Так что, 25 - не максимум, а биргетит (ещё точнее - мажоранта).

[hippie]

Ktina в сообщении #582546 писал(а):

Осталось привести пример с 25-ю цифрами, но, по-моему, и тут проблема.

Никаких проблем: 5050570707202028080860606.

Если дополнительно потребовать, чтобы в исходном числе не было нулей, то максимальное число получится 23-значным.

[Ktina]

hippie в сообщении #582548 писал(а):

Ktina в сообщении #582546 писал(а):

Осталось привести пример с 25-ю цифрами, но, по-моему, и тут проблема.

Никаких проблем: 5050570707202028080860606.

Если дополнительно потребовать, чтобы в исходном числе не было нулей, то максимальное число получится 23-значным.

Да, про нуль забыла.
Как-то автоматически подразумела, что число не может начинаться с нуля.

[hurtsy]

Ktina в сообщении #582549 писал(а):

Как-то автоматически подразумела, что число не может начинаться с нуля.

Да, предупреждать надо про нули(копирайт Е.Л.Шварц). И что то пятерки вызывают сомнения. Как вам контрпример

$$130...0...013$$

. С уважением,

[TOTAL]

hurtsy в сообщении #582572 писал(а):

И что то пятерки вызывают сомнения. Как вам контрпример

$$130...0...013$$

.

Первые 6 цифр "контрпримера" запишите.

[hurtsy]

TOTAL в сообщении #582577 писал(а):

Первые 6 цифр "контрпримера" запишите.

Спасибо, контрпример снимаю. С уважением,