Два вопроса по комплану

[Lion]

Возникли 2 вопроса по комплексному анализу, в котором я, увы, не силен.

1. Пусть $X$ --- компактная риманова поверхность; предположим, что существует непостоянное голоморфное отображение $f \colon X \to \mathbb{C}^*$ с ровно двумя критическими значениями. Что можно сказать про $X$?

2. Докажите, что эллиптическая кривая изоморфна фактору $\mathbb{C}$ по прямоугольной решетке тогда и только тогда, когда она соответствует уравнению $w^2 = F(z)$, где $F$ --- кубический многочлен с тремя различными вещественными корнями.

По вопросу 1 кажется, что $X$ --- сфера. Раз это компактная поверхность, то это сфера с ручками, и проблема в том, как строго доказать, что на самом деле ручек нет. Если бы было отображение в $\mathbb{R}$, то было бы понятно, это просто теорема Риса. А вот что делать, если у нас $\mathbb{C}^*$? Можно продолжить до $\mathbb{R}$, например, взятием модуля, но тогда не факт, что критические значения останутся различными...

По вопросу 2 геометрически это более-менее ясно: есть 4 точки ветвления --- корни $F$ и $\infty$, они лежат на вещественной прямой; нужно сделать два разреза, взять два листа, правильно их склеить и в итоге получится тот тор, который нужен. Но как доказать это строго? Можно попытаться использовать представление периодов эллиптической кривой через интегралы от соответствующей 1-формы по образующим группы целочисленных гомологий эллиптической кривой, но как вытащить прямоугольность, непонятно...