Помогите найти производную

[Shepard]

$\lim_{n\to\infty}(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^a}-\int_{1}^n\frac{1}{x^a}dx)$
Нужно найти производную этого выражения.Это впринципе не проблема если обосновать вынос за знак производной предела суммы и интеграла.Помогите с обоснованием. Заранее спасибо.

[profrotter]

Первая сумма - это ряд. Второй - несобственный интеграл. Нужно исследовать сходимость этого ряда и интеграла.

[Sonic86]

profrotter в сообщении #582373 писал(а):

Нужно исследовать сходимость этого ряда и интеграла.

Не-а При $a=0$ выражение под пределом равно нулю, например, и значит выражение определено в точке нуль (и вообще при всех $a>0$). А по отдельности слагаемые имеют меньшую область сходимости. По-моему, это напоминает один из способов аналитического продолжения дзета-функции. А как обосновывать - не знаю
Может в ряд Маклорена разложить - там видна область сходимости и тогда обосновывать дифференцирование рядов через абсолютную сходимость, но могу наврать ...

[profrotter]

Кстати, а кто в этом выражении переменная? По кому берётся производная?

[nnosipov]

profrotter в сообщении #582388 писал(а):

Кстати, а кто в этом выражении переменная? По кому берётся производная?

Очевидно, по $a$ --- ведь все остальные переменные связанные.

[ex-math]

Запишите это в виде

$$ 1+\sum_{k=2}^\infty\int_{k-1}^k\left(\frac1{k^a}-\frac1{x^a}\right)dx. $$

Тривиально оценив интеграл (удобна теорема Лагранжа), видим, что ряд сходится при $a\geqslant0$. При $a<0$ ряд расходится, и здесь тоже удобно использовать теорему Лагранжа, чтобы разобраться с подынтегральной функцией. Дальше пишете ряд из производных и убеждаетесь в его равномерной сходимости при $a\geqslant\varepsilon$, стало быть, при $a>0$ можно почленно дифференцировать. В нуле производной нет -- там разрыв, значение в нуле -- 1, предел справа -- 0.5.