Диффуры 2го порядка

[Asalex]

Дорогие форумчане, помогите разобраться со следующими вопросами:

Пусть для диффуры второго порядка
$w''(z)+p(z)w'(z)+q(z)w(z)=0$

точка $z_0$ является иррегулярной особой точкой.

1) Что можно сказать о поведении решений диффуры в окрестности этой точки?
Разлагаются ли они там в асимптотические ряды, и если да, то как их получить?
Как по дифференциальному уравнению написать интегральное представление для решений?

2) Пусть есть другая диффура

$y''(z)+p_0(z)y'(z)+q_0(z)y(z)=0$,
у которой нам известны решения $y_1(z),y_2(z)$,
а $p(z), q(z)$ близки в каком-то смысле к $p_0(z), q_0(z)$ в окрестности иррегулярной особой точки $z_0$.

Можно ли как-то приблизить решения исходной диффуры $w_1(z), w_2(z)$ функциями $y_1(z), y_2(z)$?

3) Если точка $z_0$ является точкой разветвления для функций $p(z), q(z)$, как в этом случае искать решения диффуры?



Буду рад любым ответам.

[Asalex]

Речь идет о диффуре
$w''(z)-\displaystyle\frac{1}{z}w'(z)+\left(\frac{A}{z}+B+C z\right)w(z)=0.$
$A, B, C-$ ненулевые константы.
Нужно исследовать поведение решений в бесконечности.

[Asalex]

В общем, вопрос почти исчерпан. На случай, если кому-то будет интересно, напишу как надо действовать.

0-правильная особая точка. Ищя решение в виде ряда Лорана в окрестности 0, находим, что одно решение голоморфно во всей комплексной плоскости, а второе имеет логарифмическую особенность и выражается через первое решение(см. [1]).

В окрестности бесконечности ищем асимптотическое разложение одного из решений в виде $w(z)=e^{\frac{2\alpha}{3}z^{3/2}+2\gamma z^{1/2}}\left(\sum\limits_{k=0}^{N-1} c_k z^{-k/2+\nu}+O\left(z^{-N}\right)\right),$
где $c_0=1.$ Удобно рассматривать $c_k$ при всех целых $k$, и считать что $c_k=0$ при отрицательных $k$.

Предполагая, что это разложение можно дифференцировать, и подставляя его в исходное уравнение, находим что

$\alpha=\pm\sqrt{-C},$
$\gamma=\mp\displaystyle\frac{B}{2\sqrt{-C}},$
$\nu=\displaystyle\frac{1}{4},$
$c_1=\mp\displaystyle\frac{B^2-4AC}{4C\sqrt{-C}},$
$\alpha(-k+1)c_{k-1}+(\gamma^2+A)c_{k-2}+\gamma(-k+2)c_{k-3}+(-k/2+9/4)(-k/2+1/4)c_{k-4}=0,\quad k\geq3.$

Осталось разобраться, почему формальный асимптотический ряд в самом деле приближает функцию (в [2] такое рассуждение проделывается для функции Эйри).


Литература:
1) Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. т1.
2) Смирнов В.И. Курс высшей математики, т3, часть 2.