Задачи эвристических олимпиад

[Ktina]

Эвристические олимпиады отличаются от обычных олимпиад тем, что их задачи не подразумевают единственно правильного ответа.

Вот примеры таких задач:

1) Придумайте как можно больше способов разбить множество всех вещественных чисел на пары.

2) Треугольник на плоскости задан координатами своих вершин. Точка на плоскости задана таким же образом. Определить, принадлежит ли точка треугольнику. Решить ту же задачу для выпуклого многоугольника произвольной формы. Решить ту же задачу для невыпуклого многоугольника. Придумать как можно больше способов решения.

Если уважаемым форумчанам понравится такой стиль задач, буду время от времени публиковать подобные задачи в данной теме форума.

[Tanechka]

1) Эта задача какая-то странная... ну разобьём числа на пары так, чтобы их произведение было равно 1... или 2... или $n$... вот и получили бесконечное кол-во способов разбиения
2) Будем считать, что если задача лежит на границе многоугольника, то она лежит внутри (простите за каламбур)
Тогда можно сделать так:

*** Берём одну сторону треугольника и проводим прямую, содержащую сторону треугольника. "Штрихуем" ту часть, которая содержит весь треугольник. Проверяем, лежит ли точка в "заштрихованной" части (это очень легко проверяется). Провести эту операцию для всех сторон. Если во всех случаях точка лежит в "заштрихованной" части, то она лежит внутри, иначе снаружи треугольника.

*** Пустить сканирующую прямую из этой точки в треугольник. Если будет чётное число пересечений, то она лежит снаружи, иначе изнутри.

*** Посчитаем сумму углов, образованной этой точки и всеми парами вершин треугольника. Если она равна 360 градусов, то она лежит внутри, иначе снаружи треугольника.

*** Строим выпуклую оболочку вокруг многоугольника. Если эта оболочка является исходным треугольником, то точка лежит внутри, иначе снаружи треугольника.

[Ktina]

Tanechka в сообщении #576863 писал(а):

1) Эта задача какая-то странная... ну разобьём числа на пары так, чтобы их произведение было равно 1...

А число 1 куда денете?

-- 26.05.2012, 21:09 --

А нуль - куда?
А минус единичку?

-- 26.05.2012, 21:19 --

Я бы сделала, например, так: если целая часть числа $x$ - чётная, то его парой будет $x+1$, а если нечётная - то $x-1$.

-- 26.05.2012, 21:21 --

Иными словами, каждый $x$ возьмёт за руку $x+(-1)^{\lfloor x\rfloor}$

-- 26.05.2012, 21:23 --

Поправьте меня, если я тут фигню пишу.

[Tanechka]

Ktina в сообщении #576870 писал(а):

А число 1 куда денете?-- 26.05.2012, 21:09 --А нуль - куда?А минус единичку?

Ладно, поспешила я...

-- 27.05.2012, 15:29 --

Тогда, как ещё один пример, связываем числа 0 и 0.5, 1 и 1.5, 2 и 2.5 и т.д. Для остальных каждому числу $x$ сопоставляем число $2[x]+1-x$. Пойдёт надеюсь?

-- 27.05.2012, 15:40 --

Или то же: все нецелые числа разобьём на пары, чтобы они давали в произведении 1, а целые числа нетрудно разбить на пары (по типу 0,1 2,3 4,5 и т. п.)

-- 27.05.2012, 15:47 --

Кстати от написания фигни я тоже не застрахованна

[hurtsy]

Ktina в сообщении #576718 писал(а):

Эвристические олимпиады отличаются от обычных олимпиад тем, что их задачи не подразумевают единственно правильного ответа.

Вы можете провести голосование (задать свой вопрос и предложить несколько вариантов ответа). Такая метода встречалась на форуме. И ваш вопрос будет решен без решения задач. С уважением,

[hippie]

Ktina в сообщении #576718 писал(а):

Треугольник на плоскости задан координатами своих вершин. Точка на плоскости задана таким же образом. Определить, принадлежит ли точка треугольнику.

Пусть данная точка имеет координаты $(x_0;\ y_0),$ а вершины треугольника — координаты $(x_1;\ y_1),\ (x_2;\ y_2),\ (x_3;\ y_3).$
Введём числа $z_1=(x_1-x_0)+(y_1-y_0)i,\ \ z_2=(x_2-x_0)+(y_2-y_0)i,\ \ z_3=(x_3-x_0)+(y_3-y_0)i.$

Точка лежит внутри треугольника если числа $\operatorname{Im} (z_1\overline{z_2}),\ \operatorname{Im} (z_2\overline{z_3})$ и $\operatorname{Im} (z_3\overline{z_1})$ имеют одинаковые знаки. Если некоторые из них одинакового знака, а остальные — нули, то точка лежит на границе треугольника. Если же среди них есть и положительное и отрицательное, то точка вне треугольника.

[lka76]

Ktina в сообщении #576718 писал(а):

1) Придумайте как можно больше способов разбить множество всех вещественных чисел на пары.

а что мешает выберем $Q$ любое число отличное от 0
ставим пары так $X$ и $X+Q$, $X+2 \cdot Q $ и $X+3 \cdot Q$ и т.д.

еще вариант
$X$ и $\tg {(\arctg x +\frac {\pi} {2})}$
надеюсь что не ошибся...

[Ktina]

Ktina в сообщении #576718 писал(а):

1) Придумайте как можно больше способов разбить множество всех вещественных чисел на пары.

А почему вот так нельзя?
Каждому $x\le 0$ дадим в пару $0<2^x\le1$,
Каждому $1<x\le 2$ дадим в пару $2<2^x\le4$,
Каждому $4<x\le 16$ дадим в пару $16<2^x\le 2^{16}$,
Каждому $2^{16}<x\le 2^{2^{16}}$ дадим в пару $2^{2^{16}}<2^x\le 2^{2^{2^{16}}}$
И так далее...

-- 07.09.2012, 22:57 --

Кстати, этот способ универсален. Можно бить не только на пары, но и на тройки, четвёрки, пятёрки и т. д.