Комплексный интеграл по замкнутому контуру

[Taap]

Здравствуйте. Дано следующее задание:
$\int_{C}{\frac{z^3 dz} {2{z^4}+1}}$ причем $C$: окружность $|z|=1$.
Необходимо вычислить этот интеграл.
Вообще, насколько я могу судить, особых точек пять - четыре корня уравнения из знаменателя и одна при $z$ устремленном к бесконечности. Все корни четвертой степени принадлежат $C$. Что бы вычислить интеграл необходимо посчитать сумму вычетов по этим точкам и умножить на $2\pi i$. Чем считать четыре корня, легче попытаться найти вычет при $z$ устремленном к бесконечности, и взять его с отрицательным знаком-это и будет сумма вычетов в корнях. А что бы посчитать вычет на бесконечности, нужно разложить функцию в ряд Лорана и взять коэффициент при $-1$ степени. Подскажите пожалуйста, как данную функцию разложить в ряд Лорана.
Или же есть иные более легкие пути?

[мат-ламер]

Taap в сообщении #581619 писал(а):

А что бы посчитать вычет на бесконечности, нужно разложить функцию в ряд Лорана и взять коэффициент при -1 степени

Какую функцию?

[Taap]

Подынтегральную
${z^3}/{(2{z^4}+1)}$

[мат-ламер]

Taap в сообщении #581628 писал(а):

Подынтегральную

А что тогда вычет в нуле?

[Taap]

Вообще говоря ноль не является особой точкой, насколько я понимаю.
Но если мы попробуем вычислить вычет в нуле то это даст нам значение 0,5.
Но каким образом вычет в нуле связан с вычетом в бесконечности?

[мат-ламер]

Я может не так выразился. Ну хорошо, разложить подинтегральную функцию в ряд Лорана. Но в какой точке? В бесконечности. Как это делается? Может перейти к другой функции, вычет которой надо искать в нуле? Есть идеи?

[Taap]

Ага, вроде сообразил. Расскажу как дорешал, а уж правильно или нет судить вам :)
Раз мы не можем вычислить вычет на бесконечности, то проведем замену переменных $z=1/t$. Тогда в итоге после всех преобразований получим:
$- \int_{C}{\frac{dt} {t({t^4}+2)}}$ где $C$ будет окружностью $|1/t|=1$
Теперь для этой подынтегральной функции посчитаем вычет в точке ноль, что будет эквивалентно вычету на бесконечности для исходной. Получим значение -0,5.
Берем его с отрицательным знаком и домножаем на $2\pi i$, в итоге получаем $\pi i$ что согласуется с ответом.

[мат-ламер]

Taap в сообщении #581642 писал(а):

Раз мы не можем вычислить вычет на бесконечности, то проведем замену переменных

Во-во!

[Taap]

Спасибо большое за подсказку :)